INTRODUÇÃO AS TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

INSTITUTO DE TECNOLOGIA

INTRODUÇÃO AS TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO

LQR-Regulador linear ótimo quadrático

Introdução:

No projeto de controladores na engenharia existe uma grande preocupação com o desempenho dos controladores assim como a busca por um menor esforço no sinal de controle possibilitando a otimização do processo. O presente trabalho consistiu no projeto e simulação de um regulador linear ótimo quadrático onde se observou os valores dos ganhos ótimos, os sinais de saída para cada regulador projetado além da analise de desempenho para cada valor de índice de R,para os valores do índice foram utilizado 1,2,4,8 e 16.

Desenvolvimento:

A primeira parte do trabalho foi implementar as equações de estado no software Matlab, e posteriormente calcular os valores dos ganhos ótimos, matriz P que resolve a equação de Ricart e os pólos de malha fechada para cada índice de desempenho. Para a esta etapa do trabalho foi considerado uma condição inicial igual a x0=[0 0 15 0 0]T e então foi simulado a resposta natural do sistema para ação de cada regulador assim como os respectivo sinais ótimos para uma referencia igual a 0, onde estão demonstrados respectivamente nas figuras 1 e 2.

Figura 1- Gráficos da resposta natural do sistema para ação do regulador.

Figura- Sinais de controle ótimos para cada regulador.

Para facilitar a analise e torná-la mais clara foi preenchido uma tabela com os respectivos valores de ganho ótimo, pólos de malha fechada e índice de desempenho, onde esta demonstrado na tabela 1.

R 1 2 4 8 16

K [0.6296 2.1517 0.3704 0.7339 1.0561] [0.4492 1.6689 0.2579 0.5123 0.8717] [0.3172 1.2824 0.1828 0.3625 0.7099] [0.2221 0.9761 0.1314 0.2599 0.5698] [0.1545 0.7359 0.0955 0.1883 0.4505]

Polos em mf -0.4465 + 0.8731i

-0.4465 - 0.8731i

-1.1229

-0.8952 + 0.5567i

-0.8952 - 0.5567i -0.4493 + 0.7885i

-0.4493 - 0.7885i

-0.8226 + 0.5283i

-0.8226 - 0.5283i

-1.0780 -0.4676 + 0.7037i

-0.4676 - 0.7037i

-1.0416

-0.7416 + 0.5071i

-0.7416 - 0.5071i -1.0140

-0.5281 + 0.6146i

-0.5281 - 0.6146i

-0.6247 + 0.4969i

-0.6247 - 0.4969i -0.6117 + 0.6375i

-0.6117 - 0.6375i

-0.9950

-0.4911 + 0.3809i

-0.4911 - 0.3809i

Jmin 146.8439 150.8664 156.0062 162.9853 172.8028

A segunda parte consistiu em utilizar outra condição e outra referencia para o sistema e analisar a ação do regulador linear ótimo quadrático. Foram plotados os sinais da resposta do sistema e o sinais ótimo de controle para cada caso de regulador como mostra as figuras 3 e 4 respectivamente.

Figura 3- sinais da resposta do sistema.

Figura 3- sinais de controle ótimo.

E por fim foi preenchida a tabela com os valore de Vd para cada R.

R 1 2 4 8 16

Vd 20.0000 14.1421 10.0000 7.0711 5.0000

Anexo: CÓDIGO MATLAB

#PARTE 1

%Trabalho de otimização

clear,clc

%dados do sistema

A=[0 2 0 0 0;-0.1 -0.35 0.1 0.1 0.75;0 0 0 2 0;0.4 0.4 -0.4 -1.4 0;0 -0.03 0 0 -1];

B=[0;0;0;0;1];

C=[0 0 1 0 0];

D=[0];

R1=1*eye(1)

Q=C'*C

k1=lqr(A,B,Q,R1)

[k1,P1]=lqr(A,B,Q,R1)%RETORNA A MATRIZ DE GANHO OTIMO E A MATRIZ P que resolve a equação de ricart

Pmf1=eig(A-B*k1)

R2=2*eye(1)

[k2,P2,pmf2]=lqr(A,B,Q,R2)

R4=4*eye(1)

[k4,P4,pmf4]=lqr(A,B,Q,R4)

R8=8*eye(1)

[k8,P8,pmf8]=lqr(A,B,Q,R8)

R16=16*eye(1)