PROBABILIDADE

Universidade Estadual do Ceará

PROBABILIDADE I

Prof. Jorge Luiz de Castro e Silva

LISTA 2 DE EXERCÍCIOS - NOVA

PROBABILIDADES EM ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS

1) Peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou não defeituosas (P). As peças são inspecionadas e suas condições registradas. Isto é feito até que duas peças defeituosas sejam fabricadas ou que quatro peças tenham sido inspecionadas, aquilo que ocorrer em primeiro lugar. Descreva o espaço amostral para este experimento.

2) Uma caixa com N lâmpadas contém r lâmpadas (r < N) com filamento partido. Essas lâmpadas são verificadas uma a uma até que uma lâmpada defeituosa seja encontrada. Descreva o espaço amostral do experimento.

3) Considere 4 objetos a, b, c, d. Suponha que a ordem em que tais objetos sejam listados represente o resultado de um experimento. Sejam os eventos A e B definidos por:

A = {a está na 1ª posição} B = {b está na 2ª posição}

a) Enumere todos os elementos do espaço amostral do experimento.

b) Enumere todos os elementos dos eventos AB e AB.

4) Sejam A, B, C três eventos associados a um experimento. Exprima em notação de conjunto as seguintes afirmações verbais:

a) Ao menos um dos eventos ocorre;

b) Exatamente um dos eventos ocorre;

c) Exatamente dois dos eventos ocorrem;

d) Não mais de dois eventos ocorrem simultaneamente.

5) Demonstre o Teorema “Se A, B e C forem três eventos quaisquer, então

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AB) – P(BC) + P(ABC)”.

6) Um certo tipo de motor elétrico falha apenas nas seguintes situações: emperramento dos mananciais, queima dos rolamentos ou desgaste das escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável do que a queima e esta é quatro vezes mais provável do que o desgaste das escovas. Tendo esse motor falhado, qual será a probabilidade de que isso tenha acontecido devido a cada uma dessas circunstâncias?

7) Suponha que A e B sejam eventos tais que p(A) = x, P(B) = y e p(AB) = z. Exprima cada uma das seguintes probabilidades em termos de x, y e z:

a) P(AcBc) b)P(AcB) c) P(AcB) d) P(AcBc)

8) Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=P(CB)=0 e P(AC) = 1/8. Calcule a probabilidade de que ao menos um dos eventos A, B ou C ocorra.

9) O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 homens com mais de 21 anos, 4 homens com menos de 21 anos, 6 mulheres com mais de 21 anos e 3 mulheres com menos de 21 anos de idade. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Definem-se os seguintes eventos: A={a pessoa é maios de 21 anos}; B={a pessoa é menor de 21 anos}; C={a pessoa é homem}; D={a pessoa é mulher}.

Calcule: a) P(BD) b) P(AcCc)

10) Em uma sala 10 pessoas estão usando emblemas enumerados de 1 a 10. Três pessoas são escolhidas ao acaso e convidadas a saírem da sala simultaneamente. O número do seu emblema é anotado. Qual a probabilidade de que o menor número de emblema seja 5? Qual a probabilidade de que o maior número do emblema seja 5?

11) Uma remessa de 1500 arruelas contém 400 peças defeituosas e 1100 perfeitas. Duzentas arruelas são escolhidas ao acaso (sem reposição) e classificadas.

a) Qual a probabilidade de que sejam encontradas exatamente 90 peças defeituosas?

b) Qual a probabilidade de que sejam encontradas ao menos 2 peças defeituosas?

12) Suponha que os três dígitos 1, 2 e 3 sejam escritos em ordem aleatória e sem repetição de qualquer um deles. Qual a probabilidade de que pelo menos um dígito ocupe o seu lugar próprio? Qual a probabilidade de que os dígitos 1, 2, 3 e 4 ocupem os seus lugares próprios quando são escritos em ordem aleatória e sem repetição? Qual a probabilidade de que os dígitos 1, 2, 3, 4, ..., n ocupem os seus lugares próprios na mesma situação descrita em ordem aleatória e sem repetição?

13) Dois homens H1 e H2, e três mulheres, M1, M2 e M3, estão num torneio de xadrez. As pessoas de mesmo sexo têm igual probabilidade de vencer, mas cada homem tem duas vezes mais probabilidade de ganhar do que qualquer mulher. Se haverá somente uma pessoa vencedora, encontre a probabilidade de que uma mulher vença o torneio.

14) Duas cartas são retiradas aleatoriamente de um baralho comum de 52 cartas. Encontre a probabilidade de que :

a) ambas sejam de espadas; b) uma seja de espadas e a outra de copas.

15) Três lâmpadas são escolhidas aleatoriamente dentre 15 lâmpadas, das quais 5 são defeituosas. Encontre a probabilidade de que:

a) nenhuma seja defeituosa;

b) exatamente uma seja defeituosa;

c) pelo menos uma seja defeituosa.

16) Numa classe há 10 homens e 20 mulheres; metade dos homens e metade das mulheres têm olhos castanhos. Determine a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser um homem ou ter olhos castanhos.

17) Sejam A e B eventos com P(A)=3/8, P(B)=1/2 e P(AB)=1/4. Determine:

a)P(AB) b)P(Ac) c)P(Bc) d)P(AcBc) e)P(AcBc) f)P(ABc) g)P(BAc)

18) Lança-se um par de dados não viciados. Calcule a probabilidade de o máximo dos dois números ser maior ou do que 4.

19) Calcular a probabilidade de se obter exatamente 3 caras e 2 coroas em 5 lances de uma moeda.

PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA

20) Uma urna contém 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se simultaneamente 3 bolas. Achar a probabilidade de que:

a) nenhuma