VISCOSIDADE DINAMICA

INTRODUÇÃO

O pêndulo de torção é um tipo de Oscilador harmônico, e pode ser construído a partir de elementos simples como barras cilíndricas de ferros e fios metálicos, ou seja, de simples montagem experimental. O que caracteriza o pêndulo de torção é fundamentalmente o fato de utilizarmos corpos rígidos e deslocarmos o corpo da posição de equilíbrio através de uma rotação de oposição, τ, ao deslocamento θ, definido pela rotação τ= - kθ, sendo K uma constante própria do fio, denominado coeficiente de restituição . Como o torque é sempre de oposição ao deslocamento angular, se ao corpo for dado um deslocamento inicial, θo e depois ele irá oscilar com um período T dado pela equação:

T=2πIoK

Onde o é momento de inercia do corpo.

Este deslocamento provoca uma deformação no fio metálico, que tende a retornar para a posição de equilíbrio.

O momento de inércia, resistência de um corpo ao sair do estado de repouso, está associado no pêndulo de torção ao movimento de rotação deste corpo em torno de um eixo. Quando um torque restaurador é aplicado ao pêndulo, colocando-o em rotação, grandeza mede a inércia do sistema parado. Quando uma barra delgada de comprimento L uniforme de massa m está suspensa por um fio, o momento de inércia é calculado pela equação:

I=m(L2+3R2)12

Para uma haste de massa m e comprimento L, sustentada por duas massas de metal M a uma distância d do centro da haste, temos a equação:

I=mL²12+2Md²

O período de oscilação desde sistema será determinado por:

T²4π²=mL²12k+2Md²k

MATERIAL UTILIZADO

1. Duas esferas de chumbo

2. Hastes delgadas de metal

3. Cronômetro

4. Régua

5. Bases e suportes

6. Cola

PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

O pêndulo de torção consiste em uma haste que pode girar horizontalmente em torno do seu centro de massa, sendo que esse movimento circular é amortecido por uma mola que enrola ou desenrola quando a haste gira.

Duas massas (iguais) perfuradas e com trava são colocadas uma em cada lado da haste, e a distância que elas tem do centro regula o movimento de inércia do pêndulo.

No caso de barras delgadas uniformes de massa m e comprimento L, temos que:

I = mL2 (a)

12

Já para uma régua de massa m e comprimento L, sustentando dois corpos de metal de massa M a uma distância d, do centro da régua, temos

I=mL2 + 2Md2 (b)

12

As expressões (a) e (b) referem-se ao momento de inércia para corpos diferentes. O momento de inércia corresponde à resistência que o corpo apresenta em iniciar uma rotação a partir do repouso, ou à dificuldade de modificar um movimento de rotação já existente.

Conhecendo as equações (a) e (b), e também a freqüência angular ω que é dada por:

ω = (k/I)1/2 = (2π/T) (c)

Podemos encontrar o período T de oscilação para as barras delgadas e para a régua, respectivamente:

T2= mL2 (d)

4π2 12k

T2= mL2 + 2M d2 (e)

4π2 12k k

Como a freqüência é, por definição, o inverso de período, é possível encontrar essa grandeza utilizando as equações acima.

Resultados e Discussão

De acordo com os dados obtidos na primeira parte do experimento (Anexo II), foi traçado o gráfico de T2 em função de mL2 (Fig. 1) e feito um ajuste da reta que melhor descreve o comportamento da função, utilizando o método dos mínimos quadrados, como mostrado a seguir:

Resultado 1 - de T2 versus m.L2.

a = (∑ x)( ∑ y) ̶ n(∑xy)

(∑ x)2 ̶ n(∑x2)

a = 0,0495 . 22,1476 - 5. 0,3266086 = 462,09

( 0,04947)2 - 5. 0,0007

b = (∑xy)( ∑x) ̶ (∑x2)( ∑y)

(∑x)2 ̶ n (∑x2)

b = 0,3266 . 0,04947 - 0,0007 . 22,1476 = - 0,1420

(0,0 4947)2 - 5. 0,0007

Após obter os valores de a e b, podemos escrever a equação da reta:

T2= a. mL2 +b, substituindo os valores de a, b

T2= 462,09. mL2 - 0,1420.

Como a expressão para o período de oscilação de uma barra cilíndrica é dada por:

T2= mL2

4π2 12k

Podemos reescrevê-la, de modo a facilitar sua comparação com a equação encontrada experimentalmente, do seguinte modo:

T2 = π2 . mL2

3k

Comparando as equações temos que π2/3k= 462,0876 e, portanto,

k = 7,1196.10-3 (kg.m2.s-2).

Como o valor do módulo de torção k depende das características do da barra, este valor é o mesmo para todas as duas etapas da experiência, já que não foi utilizado outra barra.

A equação encontrada experimentalmente possui um valor de b, enquanto a teórica não possui coeficiente linear. Isso ocorreu devido ao erro na obtenção da inclinação da função T2 x mL2, que deveria passar pela origem. Como o valor de b é maior que 0, isso demonstra que, em média, os períodos obtidos devem ter sidos maiores do que os esperados, o que é compreensível, já que há sempre um erro entre a hora que termina a oscilação e o a hora em que o operador consegue parar o cronômetro.

De acordo com os dados obtidos na segunda parte do experimento, foi traçado o gráfico de T2 em função de d2, onde d é distância do furo central ao furo onde é posto a massa M, (Fig. 2) e feito um ajuste da reta que melhor descreve o comportamento da função, utilizando o método dos mínimos quadrados, como mostrado a seguir:

Resultado 2 - de T2 versus d2.

a’ = (∑ x)( ∑ y) ̶ n(∑xy)

(∑ x)2 ̶ n(∑x2)

a’ = 0,0706 . 253,1047 - 5 .6,1561 = 2437,72

(0,0706)2 - 5 .0,0021

b’ = (∑xy)( ∑x) ̶ (∑x2)( ∑y)

(∑x)2 ̶ n (∑x2)

b’ = 6,1561 .0,0706 - 0,0021 .253,1047 = 16,20

(0,0706)2 - 5 .0,0021

Com os valores de a’ e b’ podemos escrever a equação que relaciona de T2 e d2 da seguinte maneira:

T2= 2437,72 . d2 + 16,20.

De acordo com a equação (e), dada na introdução, temos que:

T2 = m π2L2 + 8M π2d2

3k k

Comparando as duas últimas equações temos:

a’ = 8Mπ 2 => M = a’k =2437,72 . 7,1196.10-3

k 8π 2 8π 2

M= 0,2198 kg.

b’ = π2mL2 = > mL2 = 3b’k

3k π2

Substituindo em (b) e fazendo d = 0,02m obtemos:

I = 3 b’k + 2Md2

12.π2

I= 16,20 . 7,1196.10-3+ 2 . 0,2198 . 0,022

4 . π2

I= 2,92.10-3 kg.m2.