RESUMO: CONDUÇÃO BIDIMENSIONAL EM REGIME ESTACIONÁRIO

UNIVERSIDADE FEDERAL SÃO JOÃO DEL REI[pic 1]

CAMPUS ALTO PARAOPEBA

RESUMO: CONDUÇÃO BIDIMENSIONAL EM REGIME ESTACIONÁRIO

Trabalho apresentado como parte das exigências da disciplina Transferência de Calor sob responsabilidade do Professor Vitor Franco.

Flávia Alves de Souza –164250054

Ouro Branco – MG

Outubro – 2019

1. Abordagens Alternativas

Para analisar a condução bidimensional, em regime estacionário, existem abordagens alternativas para determinar temperaturas e taxas de transferência de calor. Seja um sólido prismático longo, na qual a condução de calor bidimensional (Figura 1) possui duas superfícies isoladas e as outras mantidas a diferentes temperaturas, T1 > T2, há transferência de calor por condução da superfície 1 para a superfície 2. As direções do vetor fluxo térmico são representadas pelas linhas de fluxo de calor (fluxo térmico) e o vetor é a resultante dos componentes do fluxo térmico nas direções x e y. Como as linhas de fluxo de calor são, por definição, na direção do escoamento do calor, nenhum calor pode ser transferido por condução cruzando uma linha de fluxo de calor e elas são, consequentemente, às vezes chamadas de adiabatas. Reci

procamente, superfícies adiabáticas (ou linhas de simetria) são linhas de fluxo de calor.

Figura 1: Condução bidimensional.

[pic 2]

Para resolver o presente problema é preciso determinar T(x, y) e para isso dois objetivos precisam ser alcançados. O primeiro é determinar a distribuição de temperaturas no meio resolvendo a Equação 1.1 e, caso seja resolvida, o segundo objetivo é atingido, sendo ele determinar os componentes de fluxo q”x e q”y. Os métodos para resolver essa equação incluem o uso de abordagens analíticas, gráficas e numéricas. No método analítico existe o de separação das variáveis, ele é solução exata para a Equação 1. Em contrapartida, os métodos analíticos, que fornecem resultados exatos em qualquer ponto, os métodos gráficos e numéricos podem fornecer somente resultados aproximados em pontos discretos. Porém, o seu uso está restrito a problemas bidimensionais envolvendo contornos adiabáticos e isotérmicos.

[pic 3]

1. O Método da Separação das Variáveis

Para se ter uma noção de como o método da separação de variáveis pode ser usado para resolver problemas de condução bidimensionais, consideramos o sistema da Figura 1.2. Três lados de uma placa retangular delgada ou de um longo bastão retangular são mantidos a uma temperatura constante T1, enquanto o quarto lado é mantido a uma temperatura constante T2 ≠ T1. Supondo desprezível a transferência de calor nas superfícies da placa ou nas extremidades do bastão, gradientes de temperatura normais ao plano x–y podem ser desprezados (∂2T/∂z2 ≈ 0) e a transferência de calor por condução é basicamente nas direções x e y.

Figura 2: Condução Bidimensional em uma placa retangular delgada ou em um longo bastão retangular.

[pic 4]

Aplicando a técnica de separação de variáveis e depois de fazer muitas manipulações, obtêm-se a solução final na Equação 2. Ela é uma série convergente, a partir da qual o valor de θ pode ser determinado para qualquer x e y. Soluções exatas foram obtidas para outras geometrias e condições de contorno, incluindo os sistemas cilíndrico e esférico.

1. O Fator de Forma da Condução e a Taxa de Condução de Calor Adimensional

Achar soluções analíticas para a equação do calor nas formas bi e tridimensionais não é uma tarefa fácil e, em muitos casos, não é possível. Consequentemente, uma abordagem diferente é frequentemente adotada. Por exemplo, em muitos casos, problemas de condução bi e tridimensionais podem ser resolvidos rapidamente usando-se soluções existentes da equação da difusão do calor.

Fatores de forma foram obtidos analiticamente para numerosos sistemas bi e tridimensionais e, para algumas configurações comuns, alguns exemplos de resultados são resumidos na Tabela 1.1. Nela fica evidente que os valores de[pic 5], que foram obtidos analítica e numericamente, são similares para uma ampla gama de configurações geométricas. Como uma consequência desta similaridade, valores de [pic 6] podem ser estimados para configurações que são similares àquelas para as quais [pic 7] é conhecida.

Tabela 1.1: Fatores de forma de condução e taxas de condução de calor adimensionais para sistemas selecionados.

[pic 8]

1. Equações Diferenciais Finitas

Os problemas bidimensionais que envolvem geometrias e/ou condições de contorno que impedem tais soluções possuem uma melhor alternativa para ser resolvido. É normalmente a utilização de uma técnica numérica como a de diferenças finitas, a dos elementos finitos ou o método dos elementos de contorno. Outro ponto forte dos métodos numéricos é que eles podem ser facilmente estendidos para problemas tridimensionais. Devido à sua facilidade de aplicação, o método de diferenças finitas é bem apropriado para um tratamento introdutório das técnicas numéricas.

Uma solução numérica permite somente a determinação da temperatura em pontos discretos, isto pode ser feito com a subdivisão do meio de interesse em um número de pequenas regiões e especificando para cada uma um ponto de referência localizado no seu centro. O ponto de referência é frequentemente chamado de ponto nodal (ou simplesmente um nó) e o agregado de pontos é chamado de rede (ou grade ou malha) nodal. Cada nó representa uma determinada região e a sua temperatura é uma medida da temperatura média da região.

Raramente a seleção dos pontos nodais é arbitrária, dependendo com frequência de aspectos tais como conveniência geométrica e precisão desejada. A precisão numérica dos cálculos depende fortemente do número de pontos nodais utilizados. Se este número for grande (uma malha fina), soluções precisas podem ser obtidas.         

A determinação numérica da distribuição de temperaturas exige que uma equação de conservação apropriada seja escrita para cada um dos pontos nodais de temperatura desconhecida. O conjunto resultante de equações deve, então, ser resolvido simultaneamente para determinar as temperaturas não conhecidas em cada nó. Entretanto, se o sistema for caracterizado em termos de uma rede nodal, torna-se necessário trabalhar com uma forma aproximada, ou em diferenças finitas, desta equação.