Crescimento De Tumores

Crescimento de tumores.

Tem sido observado experimentalmente que microorganismos que se reproduzem de forma a ocorrer a “sua duplicação” (“mitose”), como as bactérias, tem sua taxa de crescimento proporcional ao volume de células divididas em um dado momento. Denotando por V(t) o volume de células divididas no tempo t. Então:

dV/dt=λV

para alguma constante positiva . A solução é:

V(t) = V_0 e^(λ(t-t_(0)) )

onde Vo é o volume de células divididas no tempo inicial to. Então o volume de células divididas cresce exponencialmente com o tempo, ou seja V(t)→∞ quando t→∞, o que é impossível de ser mantido para sempre, temos, então, um modelo de natureza razoável que tem melhor aplicabilidade em intervalos delimitados de tempo. Por outro lado, o crescimento de tumores sólidos não é exponencial em relação ao tempo. Através de pesquisas verificou-se que uma boa aproximação de V(t) que melhor se adéqua aos dados obtidos da análise de vários tumores sólidos e dada pela equação:

V(t) = V_0 exp (λ/α (1-exp(-αt)) )

onde exp(x)=e^x, e são constantes positivas. A equação acima é conhecida como uma relação de Gompertizian. A análise desta equação nos informa que o tumor cresce mais e mais lentamente com o passar do tempo e que o limite do volume de células divididas é aproximadamente: V_0 e^(λ⁄α).

Modelo de epidemia.

Analisaremos um modelo simplificado para propagação de uma

doença. Na construção do modelo que analisaremos, foram feitas as seguintes

hipóteses:

1) Uma fração x de uma determinada população tem uma doença

infecciosa, então uma fração S= (1-x) não a tem.

2) Os membros desta população

podem encontra-se livremente (ao acaso).

3) A taxa de aumento de x é proporcional a

x e S. Em conseqüência destas hipóteses, temos que o modelo é dado pela equação

dx/dt = rx(1-x)

onde r é uma constante positiva. Esta é uma equação diferencial ordinária separável, resolvendo-se a equação:

dx/dt = rx(1-x)

rt = ∫▒〖1/x(1-x) dx〗

rt = ∫▒〖1/x + ∫▒〖1/(1 - x ) dx〗〗

rt = log⁡x - log⁡〖(1-x)〗 + c

rt = log⁡〖(x/(1-x))+c〗

e^rt = x/(1-x) e^c

x1 - x = 〖ke〗^rt ,k = e^(-c)

x = 1/((1⁄k) e^(-rt)+1)

Aplicando a condição inicial x(0)=xo, obtemos:

x