A Medição do Raio da Terra por Eratóstenes

Aluno: Ricardo Cecconello

Disciplina: Fundamentos de Astronomia

Professor: Odilon Giovannini Junior

Medida do Raio da Terra

        Eratóstenes determinou, no século III a.C., o raio da Terra. Para tanto, ele considerou algumas informações prévias:

        - como o Sol encontra-se muito distante da Terra, pode-se considerar que seus raios incidem no planeta de forma paralela uns aos outros;

        - sabia-se que a distância entre as cidades de Alexandria (onde ele vivia na época) e Siena (mais ao sul) era de aproximadamente 5 000 estádios, algo em torno de 800 km;

        - era observado que no solstício de verão, ao meio-dia em Siena, os raios solares incidiam perpendicularmente na superfície terrestre, fato comprovado ao analisar-se que o fundo de uma cisterna, nestes dia e horário, era iluminado totalmente.

        Ele, então, mediu o ângulo formado entre os raios incidentes e uma haste fincada verticalmente no solo, na cidade de Alexandria, ao meio-dia do solstício de verão. Para tanto, mediu a sombra projetada pela haste e o comprimento desta. A Figura 1 representa o princípio da medida feita por Eratóstenes, onde:

• R é o raio da Terra;
• A representa a cidade de Alexandria;
• S representa a cidade de Siena;
• d é a distância entre as cidades consideradas (≈ 800 km); e
• α  são os ângulos de incidência dos raios solares e o ângulo entre as latitudes das cidades. Esta correspondência pode ser explicada pela Figura 2.

Figura 1 - Representação da medida do raio da Terra por Eratóstenes.

[pic 1]

Fonte: Disponível em: . Acesso em: 30 mar. 2018 (adaptado).

Figura 2 - Relação entre os ângulos.

[pic 2]

Fonte: o autor.

        Na Figura 2 observa-se que os ângulos α e β devem somar 90°, uma vez que a soma de todos os ângulos internos do triângulo retângulo ABC deve ser 180°. Contudo, observa-se também que a soma dos ângulos β e γ deve ser 90°, já que estes formam um ângulo reto entre o cateto do triângulo ABC e a reta que contém o ponto B. Assim:

[pic 3]

[pic 4]

        Esta resolução aplica-se à Figura 1, na qual os ângulos α equivalem aos ângulos α e γ da Figura 2.

         Eratóstenes conseguiu o valor de 7,25° para o ângulo entre as latitudes de Alexandria e Siena. Convertendo este ângulo de graus para radianos, obtém-se:

[pic 5]

        Assim, o valor do raio da Terra pode ser encontrado pela relação:

[pic 6]

onde R é o raio da Terra, d é a distância entre Alexandria e Siena e α é o ângulo entre as latitudes destas cidades.

        O valor atual para o raio de nosso planeta é 6 371 km. Assim, a diferença percentual entre este e o obtido por Eratóstenes é:

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