A Atividade Discursiva - Calculo IV

Aluno: Sérgio Ramos

Curso: Engenharia Elétrica

Campus: Taboão da Serra – SP

Período: 6º semestre - Noturno – Presencial

R.A: 39136676000

CPF: 235.186.000-30

ATIVIDADE DISCURSIVA

O Teorema de Stokes pode ser escrito como ʃcF. dr= ʃʃsrotF . dS, ou seja, a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial F sobre uma superfície S é igual a integral do campo vetorial F em alguma curva de fronteira C da superfície. Para essa questão discursiva considere o campo vetorial F= zi + zxj + xk e a superfície S é formada pelo paraboloide z= 17 – x2 – y2 e o caminho C é o encontro entre o paraboloide e o plano z= 1.

(a) Calcule o lado esquerdo do Teorema de Stokes.

(b) Calcule o lado direito do Teorema de Stokes.

(c) O que podemos concluir sobre o procedimento anterior?

Para os itens anterior, faça todos os cálculos necessários, mostrando todas as passagens e justificando-as.

Resposta:

(a) Calcule o lado esquerdo do Teorema de Stokes.

ʃc F * dr= ʃ ʃs rotF * dS

ʃa (F dr) ʃa (F dr)= ʃab (F dr (t)) * r’ (t) dt

r(t)= ?

r(t): 2= 1;1= 17 – x2 – y2

x2 + y2= 16 r= 4 (x= R cosƟ; y= R senƟ; Z= Z)

r(t)= (4cos t, 4sen t, 2)

r’(t)= (-4sen t, 4cos t, 0)

ʃtitf (F (r(t)) * r’ (t) dt)

t(0,2π)

F (r(t))= (1,1 * 4cos t, 4cos t)

ʃtitf (1,4cos) (t, 4cos (t) * (-4sen t, 4cos t (t, 0) dt)

ti= 0 tf= 2π

ʃ02π (-4sen t dt + ʃ02π (16(cos)2)t dt (cos)2x= (1 + cos2x) / 2

ʃ02π (16 / 2) dt + ʃ02π (1 / 2) cos 2t) dt 8t= ʃ02π (=16)

ʃs rot (F) * (ds)= ?

Super.: z= 17 – x² - y² (x= RcosƟy= R; senƟZ= 1)

F= (Z, Zx, x)

Ɵ= 0,2π

Z (x, y)= 17 – R² (cos)²Ɵ + (sem)²Ɵ)= 17 – R²

R= 0,4

(b) Calcule o lado direito do Teorema de Stokes.

ʃs rot (F) * (ds)= ?

Super.: z= 17 – x² - y² (x= RcosƟy= R; senƟZ= 1)

F= (Z, Zx, x)

Ɵ= 0,2π

Z(x, y)= 17 – R² (cos)²Ɵ + (sem)²Ɵ)= 17 – R²

R=