A Capacitância Global

Aluno: Leonardo Belichi Vieira.                        Matrícula: 2009208029.

Transferência de Calor I - Método da Capacitância Global.

a) Determinação da equação da transferência térmica global partindo do balanço: -Esai = Eacu descrevendo de forma detalhada todos os passos matemáticos.

A essência do método da capacitância global é a hipótese de que a temperatura do sólido é uniforme no espaço, em qualquer instante durante o processo transiente. Essa hipótese implica que os gradientes de temperatura no interior do sólido sejam desprezíveis. Pela Lei de Fourier, a condução térmica na ausência de um gradiente de temperatura implica a existência de uma condutividade térmica infinita.

Ao desprezar os gradientes de temperatura no interior do sólido, não mais podemos analisar o problema do ponto de vista da equação do calor. Alternativamente, a resposta transiente da temperatura é determinada pela formulação de um balanço global de enérgica no sólido. Na figura abaixo, o resfriamento de um metal quente.

[pic 1]

Aplicando o balanço de energia no volume de controle acima:

-Esai = Eacu

        [pic 2]

Fazendo a diferença de temperatura  ·, assim: ·, sendo  uma constante.[pic 3][pic 4][pic 5]

  = [pic 6][pic 7][pic 8]

  = , onde .[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Efetuando as integrações segue-se que:

                                (1)[pic 13]

ou ainda:

         (2)[pic 14]

A Equação 1 pode ser usada para determinar o tempo necessário para o sólido alcançar uma uma dada temperatura T. E a Equação 2 pode ser utilizada no cálculo da temperatura alcançada no sólido em algum tempo t.

É importante identificar que a grandeza  pode ser interpretada como uma constante de tempo térmica representada por:[pic 15]

                (3)[pic 16]

onde  é a resistência à transferência de calor por convecção e  é a capacitância térmica global do sólido.[pic 17][pic 18]

Continuando a análise, para determinar o total da energia transferida Q até algum instante de tempo t, simplesmente escrevemos:

[pic 19]

Substituindo a expressão para , Equação 2, e integrando, obteremos:[pic 20]

                (4)[pic 21]

No processo de têmpera  é positivo e o sólido experimenta um decréscimo na energia. As equações 1, 2 e 4 também se aplicam a situações nas quais o sólido é aquecido (, quando  é negativo e a energia interna do sólido aumenta.[pic 22][pic 23][pic 24]

---

b) Graficar as curvas da figura 5.2, do Incropera, comentando detalhadamente os significados físicos para a variação de .[pic 25]

[pic 26]

Os resultados encontrados no item a), Equações 1 e 2, indicam que a diferença entre as temperaturas do sólido e do fluido deve diminuir exponencialmente para zero à medida que o  se aproxima de infinito. Esse comportamento é comprovado no gráfico acima. [pic 27]

Qualquer aumento em  ou  causará uma resposta mais lenta do sólido a mudanças no seu ambiente térmico.[pic 28][pic 29]

Assim sendo, aumentando  o processo ficará mais lento, pois haverá aumento ou da resistência à transferência de calor por convecção ou aumento da capacitância térmica global do sólido. Ao passo que, reduzindo os valores de  ou , o processo se tornará mais rápido.[pic 30][pic 31][pic 32]

Esse comportamento é análogo ao decaimento da voltagem que ocorre quando um capacitor é descarregado através de um resistor em um circuito elétrico RC.

---

c) Considerando a Equação para a distribuição de temperatura, proponha uma adimensionalização para esta equação, em função do número adimensional Biot, e de um adimensional para o tempo. Explique o significado físico para ambos os adimensionais.

Considerando a condução em regime estacionário através da parede plana com área A, conforme a figura abaixo.

[pic 33]

Embora estejamos supondo condições de regime estacionário, esse critério pode ser imediatamente estendido a processos transientes. Uma superfície é mantida a uma temperatura e a outra é exposta a um fluido com temperatura . A temperatura desta última superfície terá um valor intermediário, , para o qual . Assim, para condições de regime estacionário, o balanço de energia na superfície se reduz a:[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

, onde k é a condutividade térmica do sólido.[pic 38]

Rearranjando a equação teremos:

                (5)[pic 39]

A grandeza  que aparece na Equação 5 é o parâmetro adimensional chamado de número de Biot e possui papel fundamental nos problemas de condução que envolvem efeitos convectivos na superfície.[pic 40]

Significado físico (Biot): o número de Biot fornece uma medida da queda de temperatura no sólido em relação à diferença de temperaturas entre a superfície e o fluido. É razoável supor uma distribuição de temperaturas uniforme no interior do sólido em qualquer instante durante o processo transiente. Interpretando o número de Biot como uma como uma razão entre resistências térmicas temos:

Se , a resistência à condução no interior do sólido é muito menor do que a resistência à convecção através da camada limite do fluido.[pic 41]

Se , a diferença de temperaturas ao longo do sólido se torna maior do que a diferença entre a superfície e o fluido.[pic 42]

O número de Biot torna-se indispensável para a solução de problemas pelo método da capacitância global, se a seguinte condição for atendida:

                        (6)[pic 43]

O erro associado à utilização do método da capacitância global é pequeno, e esta poderosa ferramenta pode ser utilizada.