A GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

PARTE 01 - VETORES GEOMÉTRICOS

Definição 1.1. RETA ORIENTADA – EIXO. Uma reta  é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso considerado positivo e indicado por uma seta. O sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada eixo. [pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

Definição 1.2 SEGMENTO ORIENTADO. Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem, do segmento e o segundo, extremidade.

Obs: O segmento orientado de origem  e extremidade de  será representado por  e geometricamente indicado por uma seta que caracteriza de forma visual o sentido do segmento.[pic 4][pic 5][pic 6]

Definição 1.3 Segmento Nulo e Oposto. Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem. Se  é um segmento orientado, o segmento orientado  oposto de [pic 7][pic 8][pic 9]

1.3 Medida de um segmento

Fixando uma unidade de comprimento (, podemos associar a cada segmento orientado um número real não negativo. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento  é indicado por  [pic 10][pic 11][pic 12]

[pic 13][pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

Nesta ilustração o segmento orientado  representa o comprimento unitário.[pic 17]

Obs: Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero.

Obs:  [pic 18]

Dois segmentos orientados não nulos,  e , têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas ou coincidentes. [pic 19][pic 20]

Obs: Segmentos orientados opostos têm a mesma direção.

1.4 Segmentos Equipolentes.

Definição 1.4 Dois segmentos orientados  e  são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Sempre que os segmentos  e  forem equipolentes, serão representados por [pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Obs: Para que o segmento  seja equipolente a  (primeira figura), é necessário que  e  formem um paralelogramo.[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

1.4.1 Propriedades da equipolência.

•  (reflexiva)[pic 32]
• Se  então  (simétrica)[pic 33][pic 34]
• Se  e , então  (transitiva)[pic 35][pic 36][pic 37]
• Dado um segmento orientado  e um ponto , existe um único ponto , tal que [pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

1.5 Vetores

Vetor determinado por um segmento orientado  é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a  Esse conjunto é indicado por  [pic 42][pic 43][pic 44]

[pic 45]

Obs 1: O vetor determinado por  é denotado por   ou [pic 46][pic 47][pic 48]

Obs 2: Qualquer vetor   é um representante do conjunto vetor quando tem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento de [pic 49][pic 50]

Indicamos o módulo (ou magnitude) de  por .[pic 51][pic 52]

1.5.1 Mais algumas definições.

Vetores Iguais – Dois vetores   e   são iguais se, e somente se, [pic 53][pic 54][pic 55]

Vetor Nulo – Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, indicado por  [pic 56]

Vetores Opostos – Dado  , o vetor   é o oposto de   e o indicamos por  ou [pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

Vetor unitário -    é unitário se .[pic 62][pic 63]

Versor – O versor de um vetor não nulo   é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de  [pic 64][pic 65]

[pic 66]

Vetores Colineares -   e   são considerados vetores colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras,   e   são colineares se tiverem representantes  e  pertencentes à mesma reta ou em retas paralelas.[pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72]

Vetores Coplanares – Se os vetores não nulos  e  têm representantes   e  pertencentes ao mesmo plano, dizemos que são coplanares. [pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77]

1.6 Operações com Vetores

1.6.1 Adição

Definição 1.5. Sejam os vetores  e  representados pelos segmentos orientados  e . Os pontos  e  determinam um vetor , que é a soma dos vetores  e , ou seja,[pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86]

[pic 87]

[pic 88]

1.6.2. Propriedades da Adição

Sejam  e  vetores quaisquer, valham:[pic 89][pic 90]

Comutativa – [pic 91]

Associativa - )[pic 92]

Elemento Neutro – Existe um elemento , tal que:[pic 93]

[pic 94]

Inverso Aditivo – Para todo vetor  existe um único vetor  (vetor oposto de ), tal que:[pic 95][pic 96][pic 97]

[pic 98]

1.6.3 Diferença de vetores

Definição 1.6 Dizemos que  é a diferença de dois vetores  e  se , ou seja:[pic 99][pic 100][pic 101][pic 102]

[pic 103]

[pic 104]

Obs: Na figura estão representado os vetores  e , respectivamente, pelos segmentos orientados  e .  é um paralelogramo cujas diagonais  e  representam, respectivamente,  e  (soma e diferença).[pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112][pic 113]