Geometria Analitica E Algebra Linear

1) Construir a matriz A=(aij)2x3, sabendo que aij=3i+j.

a11=3.1+1 a11=4 a21=3.2+1 a21=7 A = 4 5 6

a12=3.1+2 a12=5 a22=3.2+1 a22=8 7 8 9

a13=3.1+3 a13=6 a23=3.2+1 a23=9

2) Dadas as matrizes A = -2 3 , B = 5 0 e C = 4 3 determinar:

1 - 4 -3 2 -1 2

a) A+B b) A-C c) B - At d) –½ .C

3 3 -6 0 7 -1 -2 -3/2

-2 -2 2 -6 -6 6 ½ -1

3) Calcular, se existir, o produto:

a) 4 2 -3 = Não é possível, pois o nº de colunas da primeira matriz é diferente do nº de

3 . 6 1 linhas da segunda matriz.

-1

b) 5 -1 . -7 = 5.-7 + -1.3 = -38

-3 4 3 -3.-7 + 4.3 33

4) Calcule os determinantes:

a) -1 2 3 -1 2 3 -1 2

3 1 2 = 3 1 2 3 1 = -1+8+27-6+6-6 det = 28

2 3 1 2 3 1 2 3

b) -1 1 -1 -1 A11= -1.(-1)1+1. -2 2 -2 A12= 1.(-1)1+2. 2 2 -2 A13= -1.(-1)1+3. 2 -2 -2 A14= -1.(-1)1+4. 2 -2 2

2 -2 2 -2 = 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1

1 0 1 0 -1 1 2 0 1 2 0 -1 2 0 -1 1

0 -1 1 2 A11= -1.(-4+0+0-2-0-0) A12= -1.(4+0-2-0-0-4) A13= -1.(0+0+2-0-0+4) A14= 1.(0+0-2-0+2+2)

A11= 6 A12= 2 A13= -6 A14= 2 det = 4

5) Resolva:

a) 2x - 3y - 7z = 5

x - 3z = 5

2y - z = 0

D = 2 -3 -7 2 -3 D = 0+0-14-0+12-3 D = -5

1 0 -3 1 0

0 2 -1 0 2

Dx = 5 -3 -7 5 -3 Dx = 0+0-70-0+30-15 Dx = -55 x = Dx / D x = -55 / -5 x = 11

5 0 -3 5 0

0 2 -1 0 2

Dy = 2 5 -7 2 5 Dy = -10+0+0-0-0+5 Dy = -5 y = Dy / D y = -5 / -5 y = 1

1 5 -3 1 5

0 0 -1 0 0

Dz = 2 -3 5 2 -3 Dz = 0+0+10-0-20-0 Dz = -10 z = Dz / D z = -10 / -5 z = 2

1 0 5 1 0

0 2 0 0 2

b) x + y + z = 5

2x + 3y + 2z = 5

4x + 7y + 5z = 12

D = 1 1 1 1 1 D = 15+8+14-12-14-10 D = 1

2 3 2 2 3

4 7 5 4 7

Dx = 5 1 1 5 1 Dx = 75+24+35-36-70-25 Dx = 3 x = Dx / D x = 3 / 1 x = 3

5 3 2 5 3

12 7 5 12 7

Dy = 1 5 1 1 5 Dy = 25+40+24-20-24-50 Dy = -5 y = Dy / D y = -5 / 1 y = -5

2 5 2 2 5

4 12 5 4 12

Dz = 1 1 5 1 1 Dz = 36+20+70-60-35-24 Dz = 7 z = Dz / D z = 7 / 1 z = 7

2 3 5 2 3

4 7 12 4 7

6) Dados os vetores u = ( -3i + 4j ), v = ( 5i – 9j ), determinar:

a) 2u + 3v = (-6,8)+(15,-27) = (9i, -19j)

b) - 4u - 2v = (12,-16) + (-10,18) = (2i,2j)

7) Determine o vetor x na igualdade 2x – 3u = 5v – x , sendo dados u = (-3,-4) e v = (1,5).

2x – 3(-3,-4) = 5(1,5) – x

2x + (9,12) = (5,25) – x

2x + x = (5,25) – (9,12)

3x = (-4,13)

x = (- 4/3,13/3)

8) Sendo A=(-3,2) e B=(5,3) extremidades de um segmento, determinar os pontos F e G que dividem AB em três partes iguais.

A F G B

1/3 AB = 1/3(B – A) F = A + 1/3AB G = F + 1/3AB

= 1/3 (8,1) F = (-3,2) + (8/3,1/3) G = (-1/3,7/3) + (8/3,1/3)

= (8/3,1/3) F = (-1/3,7/3) G = (7/3,8/3)

9) Dados os pontos A(- 4,3), B(- 2,5) e o vetor v = (1,3), calcular:

a) (A-B)+3v = b) 2v – (B – A) =

((-4,3) - (-2,5)) + 3(1,3) 2(1,3) - ((-2,5) - (-4,3))

(-2,-2) + (3,9) (2,6) - (2,2)

(1,7) (0,4)

10) Dados os pontos A(-3,-1) e B(4,2),