A GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Por: Nicolas Piero • 23/3/2021 • Resenha • 1.492 Palavras (6 Páginas) • 134 Visualizações
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
PARTE 01 - VETORES GEOMÉTRICOS
Definição 1.1. RETA ORIENTADA – EIXO. Uma reta é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso considerado positivo e indicado por uma seta. O sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada eixo. [pic 1]
[pic 2]
[pic 3]
Definição 1.2 SEGMENTO ORIENTADO. Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem, do segmento e o segundo, extremidade.
Obs: O segmento orientado de origem e extremidade de será representado por e geometricamente indicado por uma seta que caracteriza de forma visual o sentido do segmento.[pic 4][pic 5][pic 6]
Definição 1.3 Segmento Nulo e Oposto. Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem. Se é um segmento orientado, o segmento orientado oposto de [pic 7][pic 8][pic 9]
1.3 Medida de um segmento
Fixando uma unidade de comprimento (, podemos associar a cada segmento orientado um número real não negativo. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento é indicado por [pic 10][pic 11][pic 12]
[pic 13][pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
Nesta ilustração o segmento orientado representa o comprimento unitário.[pic 17]
Obs: Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero.
Obs: [pic 18]
Dois segmentos orientados não nulos, e , têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas ou coincidentes. [pic 19][pic 20]
Obs: Segmentos orientados opostos têm a mesma direção.
1.4 Segmentos Equipolentes.
Definição 1.4 Dois segmentos orientados e são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Sempre que os segmentos e forem equipolentes, serão representados por [pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
Obs: Para que o segmento seja equipolente a (primeira figura), é necessário que e formem um paralelogramo.[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]
1.4.1 Propriedades da equipolência.
- (reflexiva)[pic 32]
- Se então (simétrica)[pic 33][pic 34]
- Se e , então (transitiva)[pic 35][pic 36][pic 37]
- Dado um segmento orientado e um ponto , existe um único ponto , tal que [pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]
1.5 Vetores
Vetor determinado por um segmento orientado é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a Esse conjunto é indicado por [pic 42][pic 43][pic 44]
[pic 45]
Obs 1: O vetor determinado por é denotado por ou [pic 46][pic 47][pic 48]
Obs 2: Qualquer vetor é um representante do conjunto vetor quando tem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento de [pic 49][pic 50]
Indicamos o módulo (ou magnitude) de por .[pic 51][pic 52]
1.5.1 Mais algumas definições.
Vetores Iguais – Dois vetores e são iguais se, e somente se, [pic 53][pic 54][pic 55]
Vetor Nulo – Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, indicado por [pic 56]
Vetores Opostos – Dado , o vetor é o oposto de e o indicamos por ou [pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]
Vetor unitário - é unitário se .[pic 62][pic 63]
Versor – O versor de um vetor não nulo é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de [pic 64][pic 65]
[pic 66]
Vetores Colineares - e são considerados vetores colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras, e são colineares se tiverem representantes e pertencentes à mesma reta ou em retas paralelas.[pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72]
Vetores Coplanares – Se os vetores não nulos e têm representantes e pertencentes ao mesmo plano, dizemos que são coplanares. [pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77]
1.6 Operações com Vetores
1.6.1 Adição
Definição 1.5. Sejam os vetores e representados pelos segmentos orientados e . Os pontos e determinam um vetor , que é a soma dos vetores e , ou seja,[pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86]
[pic 87]
[pic 88]
1.6.2. Propriedades da Adição
Sejam e vetores quaisquer, valham:[pic 89][pic 90]
Comutativa – [pic 91]
Associativa - )[pic 92]
Elemento Neutro – Existe um elemento , tal que:[pic 93]
[pic 94]
Inverso Aditivo – Para todo vetor existe um único vetor (vetor oposto de ), tal que:[pic 95][pic 96][pic 97]
[pic 98]
1.6.3 Diferença de vetores
Definição 1.6 Dizemos que é a diferença de dois vetores e se , ou seja:[pic 99][pic 100][pic 101][pic 102]
[pic 103]
[pic 104]
Obs: Na figura estão representado os vetores e , respectivamente, pelos segmentos orientados e . é um paralelogramo cujas diagonais e representam, respectivamente, e (soma e diferença).[pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112][pic 113]
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