A GEometria Analítica

UFRJ – Escola de Belas Artes

Curso de Especialização em Técnicas de Representação Gráfica – Turma 2013 / 2015

Prof. Daniel Wyllie L. Rodrigues

Geometria Analítica com o Auxílio do GeoGebra

Material de Apoio (versão 0.1)

Pontos

Todo ponto é representado por um par ordenado de números reais: P = (x, y).

Para marcar um ponto no espaço bidimensional do GeoGebra, basta digitar suas as coordenadas x e y entre parenteses. Caso deseje, você poderá atribuir uma letra específica (um rótulo) ao ponto. Somente letras maiúsculas devem ser usadas para referenciar pontos.

Digite no campo de entrada:

O = (0,0)

A = (4,2)

B = (-1,3)

c = (-2,4) ; cria um vetor em vez de um ponto

É fácil acessar as coordenadas de qualquer ponto criado previamente. x(A) retorna a abscissa e y(A) a ordenada do ponto A. Experimente.

Sequências

O GeoGebra possui um comando útil denominado Sequence, o qual permite a elaboração de listas de objetos que variam em função de um determinado parâmetro (variável).

Sequence[ ]

Sequence[ , , , ]

Sequence[ , , , , ]

Digamos que você quer criar uma lista de números de 1 a 10.

Uma maneira de resolver o problema é digitar lista1 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, explicitando cada item.

Outra solução, essa mais inteligente, envolve a geração de uma sequência de t (função que depende de t), sendo t um parâmetro que varia de 1 (start value) até 10 (end value). Lembre-se: computadores são máquinas ideais para executar tarefas repetitivas.

Digite no campo de entrada:

lista1 = Sequence[t,t,1,10]

Outros exemplos:

lista2 = Sequence[2*t,t,1,10]

lista3 = Sequence[2*t,t,1,5,0.5]

lista4 = Sequence[t+1,t,0,1,0.1]

Use o comando Sequence para gerar essas listas:

lista5 = {4,4.5,5,5.5,6,6.5,7,7.5,8}

lista6 = {-100,-99,-98,…,-2,-1,0,1,2,3,…,98,99,100}

lista7 = {9,16,25,36}

Podemos usar o comando Sequence para gerar uma série unidimensional ou até mesmo uma malha bidimensional de pontos. Posteriormente teremos a chance de criar famílias de curvas e sequências de outros itens mais interessantes. Por enquanto iremos nos restringir a listas de pontos, segmentos de reta e, no máximo, círculos.

Apague todos os objetos prévios e digite no campo de entrada:

seq1 = Sequence[(t,1),t,1,6]

seq2 = Sequence[(1,t),t,-6,-1]

seq3 = Sequence[Sequence[(p,q),q,2,4,0.25],p,2,4,0.25]

Você conseguiu entender o que ocorreu no ultimo exemplo? Uma sequência foi gerada dentro de outra. As variáveis utiizadas foram p e q. Quem sabe programar irá se dar conta da ocorrência de um “nested loop”.

Outros exemplos mais rebuscados:

seq4 = Sequence[Segment[(t,-1),(t,-2)],t,2,4,0.25]

seq5 = Sequence[Segment[(t+0.25,-3),(t,-3.5)],t,2,4,0.25]

seq6 = Sequence[Circle[(t,2),1],t,8,10,0.1]

seq7 = Sequence[Circle[(t,-2),t/8],t,6,9,0.25]

seq8 = Sequence[(t+4,sin(t)-5),t,0,360°,0.2]

seq9 = Sequence[Segment[(t+4,-5),(t+4,sin(t)-5)],t,0,360°,0.2]

seq10 = Sequence[Rotate[(13,-2),t,(12,-2)],t,-0°,180°,15°]

Soma de pares ordenados

Podemos somar pares ordenados de dois pontos do seguinte modo:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

Apague todos os objetos prévios e digite no campo de entrada:

O = (0,0) 

A = (4,2)

B = (-1,3)

C = A + B e C = (x(A)+x(B),y(A)+y(B)) geram o mesmo resultado.

Digite Polygon[O,A,C,B] para criar um polígono cujos vertices são O, A, C e B. Não se espante pelo fato de os vértices não estarem em ordem alfabética. Mova livremente os pontos A e B e observe. Que quadrilátero é esse? Você entende o significado geométrico desta soma?

Subtração de pares ordenados

O que acontece quando subtraímos os pares ordenados de dois pontos?

Explore esta situação no GeoGebra. Apague o ponto C e digite no campo de entrada: D = A – B.

Note que D = A – B corresponde a D = A + (-B). O que vem a ser –B? Reflita.

Multiplicação de pares ordenados por número real

Considere k um número real.

k(x, y) = (kx, ky)

Apague os pontos B e D e digite no campo de entrada:

P = k*A

O programa vai perguntar se você quer criar um controle deslizante (slider). Aceite a sugestão e observe o que acontece enquanto você altera o valor do parâmetro k. Você lembra da transformação de um ponto por homotetia? Qual é o ponto transformado e qual é o centro de homotetia?

Apague o ponto P e digite no campo de entrada:

P = Dilate[A,k,O]

Como poderíamos alterar o centro de homotetia? O que deveria ser modificado em P=k*A? Reflita.