A Hidráulica

HIDRÁULICA

AULA 1 – ANÁLISE DIMENSIONAL

1. CONCEITUAÇÃO
2. GRANDEZAS: GEOMÉTRICAS, CINEMÁTICAS E DINÂMICAS
3. DIMENSÕES DAS PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DOS FLUÍDOS
4. PROPRIEDADES MATEMÁTICAS DAS DIMENSÕES
5. TEOREMAS DE BRIDGEMANN
6. TEOREMAS DE BRIDGEMANN APLICADOS NA DETERMINAÇÃO DE FÓRMULAS

1. CONCEITUAÇÃO

• Análise Dimensional – É a análise matemática das grandezas que intervêm em um determinado fenômeno físico (ou hidráulico).
• Grandeza (G) – É o conjunto de características de uma determinada propriedade ou fenômeno físico.

1. CLASSIFICAÇÃO DAS GRANDEZAS

• Grandezas Geométricas – Comprimento (L), Diâmetro (D), Rugosidade (ε), Área (A), Volume (V), etc.
• Grandezas Cinemáticas – Velocidade (v), Aceleração (a), Vazão (Q), etc.
• Grandezas Dinâmicas – Massa Específica (ρ), Viscosidade (μ), Aceleração da Gravidade (g)^[1], Pressão (p), Elasticidade (E), Tensão Superficial (σ), Tensão Tangencial (T), etc.
• Grandezas Fundamentais – Aquelas consideradas padrão. Exemplo: Comprimento (L), Massa (m) e Tempo (T).
• Grandezas Derivadas – Aquelas expressas em função das grandezas padrão. Exemplo: Área (A = L²), Vazão (Q = L³.T-¹), Força de Inércia (F = m.a = M.L.T-²), Pressão (p = F.A-¹ = M.L.T-².L-² = M.L-¹.T-²).

1. DIMENSÕES DAS PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DOS FLUÍDOS

• Representação de uma Dimensão – [   ] “dimensão de”. Exemplo: Dimensão de Pressão – [p] = [F].[A]-¹ = M.L.T-².L-² = M.L-¹.T-²
• Grandezas Geométricas        [L] = [D] = [ε] = L;
• Grandezas Cinemáticas        [v] = L.T-¹; [Q] = L.T-³.
• Grandezas Dinâmicas        [ρ] = M.L-³

[μ] = [T].[dv/dy] -¹ = F.L-².T = M.L.T-².L-².T = M.L-¹.T-¹

[g] = L.T-²

[p] = [E] = [T] = M.L-¹.T-²

[σ] = F.L-¹ = M.L-².T-²

1. PROPRIEDADES MATEMÁTICAS DAS DIMENSÕES

• As dimensões das grandezas são números reais e, portanto, as propriedades associativa, comutativa e distributiva da multiplicação e exponenciação de reais também são aplicáveis à Análise Dimensional.
• Axiomas da exponenciação de números reais também são extensíveis às dimensões de grandezas:

[k] = M0.L0.T0 = 1 (Dimensão de Constante = 1)

[G1x.G2y.G3-z] = [G1]x.[G2]y.[G3]-z

1. TEOREMAS DE BRIDGEMANN

• 1º Teorema de Bridgemann – Se uma grandeza física G é derivada de n grandezas fundamentais (G1, G2, ..., Gn), então G pode ser expressa pelo produto de uma constante k por cada uma dessas grandezas fundamentais elevadas a expoentes constantes.

G = f (G1, G2, ..., Gn) → G = k . G1x1 . G2x2 . ... . Gnxn

• 2º Teorema de Bridgemann – Para que uma equação matemática envolvendo grandezas represente uma lei física é necessário que exista nesta equação “homogeneidade dimensional”, isto é, as dimensões resultantes de cada membro da equação devem ser iguais.

[G] = [k] . [G1x1] . [G2x2] . ... . [Gnxn]

1. TEOREMAS DE BRIDGEMANN APLICADOS NA DETERMINAÇÃO DE FÓRMULAS

• Sabendo-se que a potência P de uma bomba centrífuga depende do peso específico γ do líquido, da vazão Q e da altura manométrica H, estabeleça uma expressão para a potência P, em HP.

Resolução:

1. Do 1º Teorema de Bridgemann – P = k . γx . Qy . Hz
2. Do 2º Teorema de Bridgemann – [P] = [k] . [γ]x . [Q]y . [H]z
3. Considerando o sistema de unidades {F,L,T}:

F.L.T-1 = 1 . (F.L-3)x . (L3.T-1)y . Lz = Fx . L-3x+3y+z . T-y

1. Resolvendo, temos: x = 1, y = 1, z = 1
2. Assim, substituindo na 1ª expressão, temos:

P = k . γ . Q . H

1. Considerando que HP = 75 kgf.m/s, então k = 1/75, e a expressão de potência hidráulica, em HP, é:

P = γ . Q . H / 75

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QUADRO 1 – TABELA DE EQUAÇÕES DIMENSIONAIS

Grandeza	Sistema Internacional	Sistema Gravitacional
M.L.T.	F.L.T.
Comprimento	L	L
Força	M.L.T-2	F
Massa	M	F.L-1.T²
Tempo	T	T
Aceleração	L.T-2	L.T-2
Aceleração Angular	T-2	T-2
Ângulo	M0.L0.T0	F0.L0.T0
Área	L²	L²
Calor	M.L².T-2	F.L
Energia	M.L².T-2	F.L
Força	M.L.T-2	F.L-3
Freqüência	T-1	T-1
Gradiente de Velocidade	T-1	T-1
Massa Específica (ρ)	M.L-3	F.L-4.T2
Massa Específica Relativa	M0.L0.T0	F0.L0.T0
Momento de uma Força	M.L².T-2	F.L
Peso Específico (γ)	M.L-2.T-2	F.L-3
Potência	M.L².T-3	F.L.T-1
Pressão	M.L-1.T-2	F.L-2
Superfície	L²	L²
Tensão de Cisalhamento	M.L-1.T-2	F.L-2
Torque	M.L2.T-2	F.L
Trabalho	M.L2.T-2	F.L
Vazão (Q)	L³.T-1	L³.T-1
Velocidade	L.T-1	L.T-1
Velocidade Angular (ω)	T-1	T-1
Viscosidade Cinemática (ν)	L².T-1	L².T-1
Viscosidade Dinâmica (μ)	M.L-1.T-1	F.L-2.T
Volume	L³	L³

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1ª LISTA DE EXERCÍCIOS (PARTE 1)

1. Utilizando o Teorema de Bridgemann, estabeleça uma expressão para a potência P de uma bomba centrífuga, sabendo-se que esta potência depende do diâmetro do rotor D (m), da velocidade angular ω (rpm), da vazão Q (m³/s) e do peso específico do líquido γ (kgf/m³). Obs: 1HP = 75 kgf.m/s.

P = k . Dx1 . ωx2 . Qx3 . γx4                 (1)

[P] = [k] . [D]x1 . [ω]x2 . [Q]x3 . [γ]x4         (2)

Considerando o sistema de unidades {F,L,T}, temos:

F.L.T-1 = 1 . Lx1 . (T-1)x2 . (L3.T-1)x3 . (F.L-3)x4 

F.L.T-1 = Fx4 . Lx1+3x3-3x4 . T-x2-x3 

Fazendo x3 = A, temos:

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