A EquaÁ„o De Bernoulli Da Hidr·ulica

A equação original[editar | editar código-fonte]

A forma original, que é para um fluxo incompressível sob um campo gravitacional uniforme (como o encontrado na Terra em pequenas altitudes), é:

{ v^2 \over 2 } + gh + { p \over \rho } = \mbox{constante} ou { \rho \ v^2 \over 2 } + \rho gh + { p } = \mbox{constante}

v = velocidade do fluido ao longo do conduto

g = aceleração da gravidade

h = altura com relação a um referencial

p = pressão ao longo do recipiente

\rho = massa específica do fluido

As seguintes convenções precisam ser satisfeitas para que a equação se aplique:

Escoamento sem viscosidade ("fricção" interna = 0)

Escoamento em regime permanente

Escoamento incompressível (\rho constante em todo o escoamento)

Geralmente, a equação vale a um conduto como um todo. Para fluxos de potencial de densidade constante, ela se aplica a todo o campo de fluxo.

A redução na pressão que ocorre simultaneamente com um aumento na velocidade, como previsível pela equação, é frequentemente chamado de princípio de Bernoulli.

A equação é dedicada a Daniel Bernoulli, embora tenha sido apresentada pela primeira vez da forma como está aí por Leonhard Euler.

A equação para fluidos compressíveis[editar | editar código-fonte]

Uma segunda forma, mais geral, da equação de Bernoulli pode ser escrita para fluidos compressíveis:

{ v^2 \over 2 } + \phi + w = \mbox{constante}

Aqui, \phi é a energia potencial gravitacional por unidade de massa, que vale apenas \phi = gh no caso de um campo gravitacional uniforme, e w é a entalpia do fluido por unidade de massa. Observe que w = \epsilon + {p \over \rho} onde \epsilon é a energia termodinâmica do fluido por unidade de massa, também conhecida como energia interna específica ou sie.

A constante no lado direito da equação é frequentemente chamada de constante de Bernoulli e indicada pela letra "b". Para o escoamento adiabático sem viscosidade e sem nenhuma fonte adicional de energia, "b" é constante ao longo de todo o escoamento. Mesmo nos casos em que "b" varia ao longo do conduto, a constante ainda prova-se bastante útil, porque está relacionada com a carga de pressão no fluido.

Quando uma onda de choque está presente, deve-se notar que um referencial move-se conjuntamente (comove-se) com uma onda de choque, muitos dos parâmetros envolvidos na equação de Bernoulli sofrem grandes modificações ao passar pela onda de choque. A constante de Bernoulli, porém, não se altera. A única exceção a essa regra são os choques radioativos, que violam as convenções que levam à equação de Bernoulli, como a falta de vazões ou fontes de energia.

Dedução[editar | editar código-fonte]

Um duto com fluido movendo-se para a direita. Estão indicados a pressão, a altura, a velocidade, a distância (s) e a área da seção transversal.

Vamos começar com a equação de Bernoulli para fluidos incompressíveis.

A equação pode ser obtida pela integração das equações de Euler, ou pela aplicação da lei da conservação da energia em duas seções ao longo da corrente, e desprezando a viscosidade, a compressibilidade e os efeitos térmicos. Pode-se dizer que

o trabalho mecânico feito pelas forças no fluido + redução na energia potencial = aumento na energia cinética.

O trabalho feito pelas forças é

F_{1} s_{1}-F_{2} s_{2}=p_{1} A_{1} v_

{1}\Delta t-p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t. \;

A diminuição da energia potencial é

m g h_{1}-m g h_{2}=\rho g A

_{1} v_{1}\Delta t h_{1}-\rho g A_{2} v_{2} \Delta

t h_{2}. \;

O aumento na energia cinética é

\frac{1}{2} m v_{2}^{2}-\frac{1}{2} m v_{1}^{2}=\frac{1}{2}\rho A_{2} v_{2}\Delta t v_{2}

^{2}-\frac{1}{2}\rho A_{1} v_{1}\Delta t v_{1}^{2}.

Juntando tudo, tem-se que

p_{1} A_{1} v_{1}\Delta t-p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t+\rho g A_{1} v_{1}\Delta t h_{1}-\rho g A_{2} v_{2}\Delta t h_{2}=\frac{1}{2}\rho A_{2} v_{2}\Delta t v_{2}^{2}-\frac{1}{2}\rho A_{1} v_{1}\Delta t v_{1}^{2}

ou

\frac{\rho A_{1} v_{1}\Delta t v_{1}^{

2}}{2}+\rho g A_{1} v_{1}\Delta t h_{1}+p_{1} A_{1

} v_{1}\Delta t=\frac{\rho A_{2} v_{2}\Delta t v_{

2}^{2}}{2}+\rho g A_{2} v_{2}\Delta t h_{2}+p_{2}

A_{2} v_{2}\Delta t.

Depois da divisão por \Delta t, \rho e A_{1} v_{1} (= vazão = A_{2} v_{2} já que o fluido é incompressível), encontra-se:

\frac{v_{1}^{2}}{2}+g h_{1}+\frac{p_{1}}{\rho}=\frac{v_{2}^{2}}{2}+g h_{2}+\frac{p_{2}}{\rho}

ou \frac{v^{2}}{2}+g h+\frac{p}{\rho}=C