A PROPRIEDADE DOS MODELOS DE HAMMERSTEIN (M.C.S. COELHO; M.V. CORRÊA.)

Modelos de Hammerstein e de Wiener

Eduardo Mendes da Silva Correa – EEI170318

PROPRIEDADE DOS MODELOS DE HAMMERSTEIN (M.C.S. COELHO; M.V. CORRÊA.)

[pic 1]

Observa-se que a figura verifica-se que o sinal intermediário v(k) é obtido pelo mapeamento do sinal de entrada u(k) através da função f. Logo, tem-se que

[pic 2]

 (1)[pic 3]

O modelo ARX é dado para o par de entrada e saída do bloco dinâmico linear, tal como mostra a equação

(2)[pic 4]

Substituindo a equação (1) em (2), o modelo de Hammersteins pode ser escrito na foma de um modelo NARX polinomial tal como

 (3)[pic 5]

A equação (3) revela que o modelo de Hammerstein é um caso particular da representação NARX polinomial em que:

• a não-linearidade está expressa em função de u;
• não há presença de termos do tipo , para .[pic 6][pic 7]

Chamando  e  de entrada e saída em estado estacionário, pode-se assumir que  e .[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

Utilizando este conceito na equação (3), a  pode ser expressa em função de , tal como[pic 12][pic 13]

(4)[pic 14]

Pela equação 4, verifica-se que modelos de Hammmerstein possuem apenas uma saída em estado estacionário para cada valor da entrada estacionária  correspondente. Porém, se  não for inversível, pode-se ter dois valores de entrada  que levam a saída para o mesmo estado estacionário, . Portanto, a representação de Hammerstein, em estado estacionário, admite multiplicidade de entradas e apenas uma saída.[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

Propriedades dos modelos de Wiener (M.C.S. COELHO; M.V. CORRÊA.)[pic 19]

A partir da figura verifica-se que o sinal de saída do modelo Wienerr é obtido pelo mapeamento do sinal intermediário u(k) através da função f, da seguinte maneira,

(5)[pic 20]

Tendo em vista que o sinal intermediário  não pode ser medido, pode-se estima-lo através da inversa da função . Portando, a função  terá que ser iversível para que um modelo Wiener possa ser estimado. Pela equação (5), obtem-se a seguinte relação,[pic 21][pic 22][pic 23]

 (6)[pic 24]

O modelo ARX é determinado para o par de entrada e saída do bloco dinâmico linear,  e , respectivamente,[pic 25][pic 26]

 (7)[pic 27]

Substituindo a equação 5 em 7, tem-se

 (8)[pic 28]

A equação 6 pode ser reescrita como

[pic 29]

Substituindo a equação anterior em (8), o modelo NARX polinomial equivalente ao modelo de Wiener é obtido, em relação aos sinais de entrada e saída do sistema,  e , respectivamente[pic 30][pic 31]

 (9)[pic 32]

Chamando u’ e y’ de entrada e saída em estado estacionário, pode-se assumir que  e . Utilizando este conceito na equação (9), a saída  pode ser expressa como função de  por[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]