A Tese da Vibração

Estatística: aulas 3 e 4

Medidas de Dispersão:

São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade, ou dispersão, dos valores em torno da média. Servem para medir a representatividade da média. São elas:

1. Amplitude Total:

É uma medida de dispersão dada pela diferença entre o maior e o menor valor da série.

[pic 3]

Ex.: R  = 65 – 18           🡺           R = 47 anos

2. Variância Amostral:

A variância amostral S2 representa a dispersão dos valores em torno da média da amostra. É calculada a partir da soma quadrática dos desvios (valor observado menos a média do conjunto de dados). Pode ser calculada através de uma das seguintes fórmulas (dependerá de como os dados estão representados):

[pic 4]    ou  [pic 5]   (para dados em rol)

[pic 6]   ou  [pic 7]  (para dados agrupados)

Ex.: Cálculo da variância

Idades (anos)	Fi	xi	x2i	Fi. x2i
[18,25)	6	21,5	462,25	2773,50
[25,32)	10	28,5	812,25	8122,50
[32,39)	13	35,5	1260,25	16383,50
[39,46)	8	42,5	1806,25	14450,00
[46,53)	6	49,5	2450,25	14701,50
[53,60)	5	56,5	3192,25	15961,25
[60,67)	2	63,5	4032,25	8064,50
Somas	50	297,5	14015,75	80456,50

[pic 8] 🡺 [pic 9]

S2 = 134,18 anos2

3. Desvio padrão:

É calculada para corrigir a unidade da variável estudada. É obtida pela raiz quadrada da variância:

[pic 10]

Exemplo 1: Cálculo do Desvio padrão

[pic 11] 🡺 S = 11,58 anos

Exemplo 2: Imagine que um professor registrou o tempo em que três alunos fizeram uma prova. O primeiro aluno fez a prova em 40 minutos, o segundo em 45 e o terceiro em 50. Você já sabe calcular a média e a variância, que são, respectivamente:

[pic 12]

[pic 13]

Estes resultados permitem afirmar que os alunos demoraram, em média, 45 minutos para fazer a prova, com variância de 25 minutos ao quadrado. Ora, minutos ao quadrado näo tem qualquer sentido prático, mas essa unidade apareceu porque elevamos os desvios ao quadrado. Näo é difícil, porém, retornar à unidade original (minuto, no exemplo). Basta calcular a raiz quadrada da variância, obtendo assim uma medida de dispersäo com a mesma unidade de medida dos dados.

Por definição, desvio-padrão é a raiz quadrada, com sinal positivo, da variância. O desvio-padrão da amostra é representado por s. Para o exemplo, o desvio-padrão é:   s =  = 5[pic 14]

Exercícios: medidas de dispersão

1) São dadas as idades das pessoas que se apresentaram como voluntárias para um estudo do efeito da ingestão de bebida alcoólica sobre a habilidade de dirigir veículos: 20; 25; 18; 32; 21; 27; 19; 18; 23; 21. Calcule a amplitude da idade dos voluntários.

2) De posse dos dados de idade apresentados no exercício 1, calcule a variância.

3) Calcule o desvio-padrão dos dados do exercício 1.

4) Calcule o desvio-padrão para os seguintes conjuntos de dados:

a) 10; 10; 0; 0; 5            

b) 4;4;4;6;8
c) 0;2;3;4;6

5) Em um treinamento de salto em altura, os atletas realizaram quatro saltos cada um:

- atleta A: 148 cm, 170 cm, 155 cm e 131 cm

- atleta B: 145 cm, 151 cm, 150 cm e 152 cm

- atleta C: 146 cm, 151 cm, 143 cm e 160 cm

Determine:

1. Qual deles obteve a melhor média?
2. Qual deles foi o mais regular? (apresente os cálculos)

6) O histograma mostra o resultado de uma pesquisa sobre altura (em cm) entre os alunos de uma classe. Calcule o desvio-padrão dessa variável.

[pic 15]

7) A prefeitura de uma cidade encomendou uma pesquisa que avaliasse o grau de satisfação dos moradores da cidade. Cada um dos 80 entrevistados atribuiu uma nota de 0 a 100 para a administração do prefeito. Os resultados estão apresentados na tabela seguinte:

Nota	frequência
0 ├ 20	4
20 ├ 40	13
40 ├ 60	32
60 ├ 80	25
80 ├ 100	6

Determine a nota média dada ao prefeito nessa pesquisa e o desvio- padrão.

8) As concentrações de óxido de nitrogênio e hidrocarbono (em μg/m3) foram determinadas em uma área urbana, em locais e horários específicos. Os dados são mostrados a seguir.