A importância de ter uma base sólida nos métodos de modelagem matemática e processamento de circuitos elétricos, que são dados por meio de equações diferenciais

FACULDADE ANHANGUERA MATÃO

ENGENHARIA MECÂNICA

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS

EQUAÇÕES DIFERENCIAS E SÉRIES

DENIS MENDES DE ARAÚJO RA 6655394239

ISAMARA ALLANA RA 6814015018

JONATAS DO PRADO RA 1299531591

MARCELO FERNANDO TESSARIN RA 6277281678

NATANAEL WILLIAN DE ARAÚJO RA 6655394240

ROGÉRIO MACIEL PAVIANI RA 6669417922

MATÃO

2014

INTRODUÇÃO

O estudo sistemático de circuitos eletroeletrônicos atualmente é motivado para o desenvolvimento de novos dispositivos, como tablets, que trazem como uma das propostas

permitir que o usuário tenha boa parte dos recursos de um computador em um aparelho portátil e mais leve que um notebook. O estudo de circuitos elétricos permite, também, o

avanço de dispositivos já existentes, a citar o exemplo de telefones celulares, cuja atual funcionalidade vai bem mais além da comunicação entre dois usuários por uma ligação telefônica.

O desenvolvimento de outros setores também está diretamente relacionado com o avanço de dispositivos, mediante o estudo de circuitos elétricos e eletrônicos, a exemplo dos setores de transmissão de energia, telecomunicações e saúde (este último beneficiando-se de equipamentos cada vez mais sofisticados e que permitem análises mais detalhadas).

O conteúdo aqui exposto evidencia a importância de se ter uma base sólida nas técnicas de modelagem e tratamento matemático de circuitos elétricos, que se dá por meio de equações diferenciais, nas quais é frequente o uso de séries no tratamento matemático.

A relevância deste desafio reside em permitir ao aluno um sólido conhecimento sobre a modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais, e sobre os métodos de

solução dessas equações, possibilitando, inclusive, a análise de projetos de desenvolvimento

de dispositivos.

Passo 1

Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em

sistemas físicos e problemas de engenharia.

Equações Diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular a evolução de sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema, ou seja, a dinâmica temporal do sistema de interesse. Resolvendo a equação diferencial(ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza determinado processo ou sistema, pode-se extrair informações relevantes sobre os mesmos e, possivelmente, prever o seu comportamento.

Definição

Uma equação diferencial é uma lei, ou uma prescrição, que relaciona determinada função com suas derivadas. Em outras palavras, uma equação diferencial estabelece a taxa segundo a qual as coisas acontecem. Resolver uma equação diferencial é encontrar a função que satisfaz a equação e, frequentemente, determinado conjunto de condições iniciais. A partir do conhecimento destas condições, a solução da equação diferencial fornece o valor da função em qualquer valor posterior da variável independente. Em particular, na descrição de um sistema em termos de uma função da variável independente tempo, a resolução da equação diferencial correspondente permite prever o comportamento futuro do sistema. Número de variáveis da função: As equações diferenciais podem ser classificadas quanto ao número de variáveis da função em termos da qual a equação é escrita. Equações diferenciais ordinárias (EDO) são aquelas cuja solução é uma função de apenas uma variável, ou seja, podem ser resolvidas apenas por derivadas simples. Um exemplo dado por Boyce e Diprima (2012)

[2] de uma EDO é que descreve o circuito RLC, com capacitância C, resistência R e indutância L. A função do tempo E(t) é a voltagem (conhecida) impressa no sistema.

A função Q(t), que é a solução procurada da equação diferencial, representa a carga em função do tempo fluindo no circuito. O circuito RLC é frequentemente utilizado em rádios. Ordem: A ordem de uma equação diferencial é definida a partir da derivada mais alta que aparece na equação.

Passo 2

Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de

funções de uma variável. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).

Sendo f uma função derivável e seja um ponto de seu domínio. Sabemos encontrar a reta tangente ao gráfico de f passando pelo ponto :

Assim, fixado o ponto , a curva fica muito perto da reta tangente nas proximidades do ponto de tangência. Isso significa que, para x suficientemente próximo de , o valor de f(x) estará próximo do valor da ordenada do ponto de mesma abscissa x mas que se encontra na reta tangente.

Dessa maneira, a derivada de uma função nos permite resolver problemas de cálculos aproximados. Vejamos como.

Para calcular (1,2)3, consideremos: a função e o ponto x0=1, onde conhecemos o valor de f, isto é .

Procuramos o valor f(1,2).

No gráfico da função temos dois pontos: (1,1) e . O problema é o de determinar a ordenada do segundo ponto.

Observando o zoom, temos: .

Através da figura, observamos que a resposta encontrada é aproximada por falta pois encontramos a