A medição da viscosidade de uma substância

A viscosidade é uma das variáveis que caracteriza reologicamente uma substância. Num sentido amplo, entende-se por propriedade reológica aquela que especifica a deformação ou a taxa de deformação que uma substância apresenta quando sujeita a uma tensão.

Dependendo do comportamento reológico da substância pode-se classificá-la em puramente viscosa ou elástica. Esta classificação baseia-se em modelos lineares que relacionam a deformação à tensão aplicada no material. O modelo para líquidos deve-se a Sir Isaac Newton (1642-1727), Eq. (1a), e o modelo para sólidos a Robert Hooke (1635-1703) , Eq. (1b):

(1a)

, (1b)

Na primeira equação, a constante de proporcionalidade  é denominada de viscosidade dinâmica (unidade [Pa.s] ou [kg/s/m]). Na segunda, G é a constante de Lamé (G. Lamé 1852) (unidade [Pa]). Estes dois modelos expressam uma importante diferença existente entre um fluido e um sólido: o fluido, estando sujeito a uma tensão, se deforma continuamente; o sólido, não. Em outras palavras, forças aplicadas em fluidos causam o escoamento; forças aplicadas em sólidos causam deformações. Resulta daí a necessidade de se expressar a tensão atuante no líquido como proporcional à taxa temporal de deformação (comportamento viscoso); em um sólido ela é proporcional à deformação (comportamento elástico). A Fig. 1a ilustra um fluido se deformando contínuamente sob ação da tensão T. De forma análoga, a Fig. 1b mostra um sólido que exibe uma deformação fixa para cada tensão aplicada.

Os modelos se constituem quando a taxa de deformação ou a deformação são especificadas. Considere o retângulo ABCD (elemento infinesimal) com lados x e y, representado na Fig. 2. Ao ser submetido a uma tensão na face BC, o ponto B se desloca para B’ e o C para C’. A deformação, definida pelo ângulo , formado por BAB’, resulta do movimento relativo dos pontos B e B’ em relação ao ponto A, aqui tomado como referência.

Para x e y infinitesimais, a deformação, expressa em função dos segmentos, é:

. (2)

i) Aplicação Eq. (2) para Fluidos:

O segmento BB’ se deforma continuamente. Sendo u a velocidade do fluido em A e t o intervalo de tempo, então:

, (3)

Substituindo-se a Eq. (3) na Eq.(2) obtém-se a taxa de deformação para o fluido:

(4)

ii) Aplicação Eq. (2) para Sólidos:

O segmento BB’ não se deforma continuamente. Se u é o deslocamento observado em A, o deslocamento do ponto B em relação ao ponto A é:

, (5)

substituindo-se Eq. (5) na Eq.(2) obtém-se a deformação do sólido:

(6)

Fig. 2 – Deformação do elemento ABCD  AB’C’D

A extensão destes modelos para um estado de tensão tri-dimensional é a equação constitutiva do material. Ela, de fato, é um modelo que relaciona deformação com tensão para sólidos Hookenos ou fluidos Newtonianos. Expressa em notação indicial, a equação constitutiva é dada por :

, (7)

onde ij é o delta de Kronecker; Dij é o tensor das deformações definido na Eq. (8) (sólido ou fluido); u, v e w são vetores paralelos às direções x,y,z e representam velocidades ou deformações, dependendo se a matéria é um fluido ou um sólido. Finalmente,  e  são parâmetros que dependem da temperatura e expressam, tanto para fluidos como para sólidos, uma relação linear entre o tensor de deformações e o campo de tensão. Além disto, eles impõem um comportamento isotrópico no tensor das tensões, isto é: ij = ji .

(8)

Os parâmetros  e  são conhecidos por diferentes nomes quando a equação constitutiva é aplicada para líquido ou sólido, veja a tab. 1.

Tabela 1 – Nomes e unidades dos parâmetros  e .

FLUIDOS NEWTONIANOS

 Primeiro coef. de viscosidade ou viscosidade dinâmica

Viscosidade dinâmica Pa.s ou

N.s/m2

Experimental

 Segundo coef. de viscosidade Pa.s ou

N.s/m2  = (2/3)

modelo

SÓLIDOS HOOKEANOS



Coef. de Lamé,

conhecido por G

E - módulo Young

 - coef. de Poisson Pa ou

N/m2

Experimental



Coef. de Lamé

E - módulo Young

 - coef. de Poisson Pa ou

N/m2 Experimental

  (1/4)

e  = G

Por razão puramente didática, as áreas de mecânica dos fluidos e de mecânica dos sólidos são apresentadas como se derivassem de princípios fundamentais distintos. De fato isto não ocorre, por estranho que possa parecer! Ambas as áreas estão fundamentadas em conceitos de mecânica dos meios contínuos (Fung). Os coeficientes