ATPS MATEMATICA 2

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Desenho do Robô . 10

SUMÁRIO

1 “ETAPA 1” 5

2 “ETAPA 2” 8

REFERÊNCIAS 12

1 “Etapa 1”

Passo 1: Determinar analiticamente as coordenadas dos pontos A, B e C onde serão realizadas as operações de soldagem, sabendo-se que:

Ponto A

A distância da origem até o ponto A é de 4m em uma direção a 35° medido a partir do semi-eixo positivo x;

(Cateto Oposto)/Hipotenusa=Seno 35°

CO/4=0,57

CO=4*0,57

CO=2,28

CO²+CA²=H²

2,28²+CA²=4²

CA² = 16 - 5,20

CA=√10,8

CA = 3,28

A (3,28; 2,28)

Ponto B

A distância da origem até o ponto B é de 6m em uma direção a 115° medido a partir do semi-eixo positivo x;

(Cateto Oposto)/Hipotenusa=Seno 115°

Sen. 115° = - (Sen. 25°)

CO/6=- 0,42

CO=6 *(-0,42)

CO=-2,52

CO²+CA²=H²

-2,52²+CA²=6²

CA² = 36 - 6,35

CA=√29,5

CA = 5,43

B (-2, 52; 5,43)

Ponto C

A distância da origem até o ponto C é de 7m em uma direção a 145° medido a partir do semi-eixo positivo x.

(Cateto Oposto)/Hipotenusa=Seno 145°

Sen. 145° = - (Sen. 55°)

CO/7=- 0,82

CO=7 *(-0,82)

CO=-5,73

CO²+CA²=H²

-5,73²+CA²=7²

CA² = 49 - 32,5

CA=√16,5

CA = 4,06

C (-5,73; 4,06)

Todos os pontos são respectivamente:

A (3,28; 2,28)

B (-2,52; 5,43)

C (-5,73; 4,06)

Passo 2: Representar os movimentos do robô por meio de vetores (fazer os desenhos).

Figura 1 – Desenho do Robô.

Fonte: Autoria Própria

Passo 3: Expresse cada um dos deslocamentos em forma de vetor cartesiano do tipo:

V1 = Vx1i + Vy1j (forma canônica).

V1=V*3,28i + V*2,28j

V2=V*(-2,52)i + V*5,43j

V3=V*(-5,73)i + V*4,06j

Passo 4:

O cálculo feito no passo 1 foi achar as respectivas coordenadas dos pontos A,B e C através do Teorema de Pitágoras e do seno da seguinte forma, primeiro foi encontrado o cateto oposto pelo seno e depois o cateto adjacente através do Teorema de Pitágoras e depois foi expresso na forma canônica

Pode-se concluir que nesta etapa também que em tudo o que nós fazemos sempre existira uma grandeza matemática no meio por que tudo o que nós fazemos hoje quase sempre se exige cálculo matemático para saber quais os resultados corretos de tudo que nós calculamos.

2 “Etapa 2”

Passo 1: Sabe-se que o robô ao realizar a última operação retorna, em um movimento rápido e em linha reta, à origem do sistema de referência. Calcular a distância total percorrida pela tocha de soldagem.

Para calcular a distância total transformamos os pares de pontos OA, AB, BC e CO em vetores, que representam as retas percorridas pela tocha, e depois disso calcular o modulo de cada vetor para então calcular o perímetro.

AB = B - A = (-2.52; 5,43) - (3,28; 2,28) = (-5,80; 3,15)

BC = C - B = (-5,57; 4,06) - (-2.52; 5,43) = (-3,21; -1,37)

CO = O-C = (0,0) - (-5,57;4,06) = (5,57; - 4,06)

OA = A-O = (3,28;2,28) – (0,0) = (3,28; 2,28)

|AB|² = (-5,80; 3,15) . (-5,80; 3,15)

|AB|² = 33,64 + 9,92 = 43,56

|AB|=√43,56

|AB| = 6.6

|BC|² = (-3,21; -1,37) . (-3,21; -1,37)

|BC|² = 10.30 + 3.49

|BC|=√12,17

|BC| = 4,49.

Os módulos de CO e OA correspondem a distância do ponto C até a base (4) e A até a base (7) respectivamente

Distancia total = 6.6+4.49+4+7 = 22.09

Passo 2: Calcular a área do quadrilátero OABC utilizando produto vetorial adotando que a cota de cada vetor será z = 0.

Para resolver esse problema resolvemos dividir a figura em dois triângulos separados por BO formando o triangulo OAB e o OBC para então soma-los

Para calcular a área usamos o produto vetorial e depois calculamos o modulo e dividimos o resultado por dois já que é um triangulo

Triangulo OAB:

| i j k | i j

|-5,80 3,15 0 |-5,80 3,15

|-3,28 -2,28 0 |-3,28 -2,28

W=0i + 0j + 13,22 + 10,33 + 0i + 0j = (0;0;23,22)

|W|² = W . W

|W|=√((0;0;23,55).(0;0;23,55))

|W|=23,55

AreaOAB = 23,55/2

AreaOAB = 11,77M²

Triangulo OBC:

| i j k | i j

|-3,27 -1,37 0 |-3,27 -1,37

| 5,73 -4,06 0 |5,73 -4,06

W=0i + 0j + 13,28 + 7,85 + 0i + 0j = (0;0;21,13)

|W|² = W . W

|W| = √((0;0;21,13).(0;0;21,13))

|W| = 21,13

AreaOBC = 21,13/2

AreaOBC = 10.56 M²

AreaABCO = AreaOAB + AreaOBC

AreaABCO = 11,77M² + 10,56

AreaABCO = 22,33 M²

Passo 3

Considerar que cada trajetória pode ser definida por uma reta. Determinar a equação reduzida na variável x de cada uma destas retas. Para fazer isso consideramos o ponto como sendo o ponto O(0,0)

Retas AB

PO =K.AB (X,Y) = O+K.(-5,80;3,15) (X,Y) = (0,0)+K.(-5,80;3,15)

X=k.(-5,8) => x=-5,8k => k=x/-5,8

Y=k.(3,15) => x=3,15k => k=x/3,15

3,15X = -5,8Y

Eq reduzida na variável X

X=-5,8/3,15

X=6,02Y

Como percebemos nesse, já que o ponto vale 0 não é necessário fazer as outras equações, só é preciso fazer a equação reduzida

Retas BC

X=-3,21/-1,27

X= 2,34Y

Retas CO

X=-5,73/-4,06

X= 0,25Y

Retas OA

X=-3,28/2,28

X= 1,44Y

Passo 4

Todo o conteúdo desta ATPS trabalhado até aqui foi de extrema importância para o aprendizado de todo o grupo, no decorrer de sua produção foram feitos cálculos a determinação analítica das coordenadas dos pontos A, B e C utilizando o Teorema de Pitágoras através do seno do ângulo dado no exercícios.

Logo após foi desenhado o movimento do robô através de vetores dos respectivos pontos, depois foi feito a forma canônica de cada um dos pontos através de um a expressão V1 = Vx1i + Vy1j, depois calculou-se a distância percorrida pela tocha dando como ponto de referência o ponto de origem, após isso utilizou-se produto vetorial e o escalar para calcular a área do quadrilátero referido em questão e por fim aplicou-se a equação reduzida na reta impondo a variável X.

Após todo esse processo conclui-se que a matemática é utilizada em diversas tarefas do dia a dia e é indispensável para a vida pois facilita muito os trabalhos tornando mais compreensível e compacto.

REFERÊNCIAS

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear e Geometria Analítica. 1ª ed. São Paulo: Pearson, 2006.