Análise Matemática

ATIVIDADE ONLINE 1 – Valor 3,0
Componente Curricular:	ANÁLISE MATEMÁTICA	Semestre:	8°
Docente:	REINALDO LIMA
Polo:	Brumado	Data:	10/05/2015
Discente:	Marcio Alencar de Novais e Marcos Cesar Dourado

Instruções:

Esta atividade deverá ser resolvida em grupos de no máximo 2 alunos e postada no AVA até às 23:30h do dia 10/05/2015 (domingo).  No total vale 3,0.

Questão 01. Use indução para mostrar que:

1. [pic 3]é divisível por 8 para todo inteiro [pic 4].

Resposta:

Base: Para n=0 teremos:

P(0):90 – 1 ≥ 0    

P(0): 1- 1 ≥ 0  ok! é divisível por 8.

Indução: Por hipótese, para n = k

P(k): 9k-1 = 8a (para algum inteiro a) => 9k=8a+1.

Para um certo n=k+1

P(k+1): 9k+1 – 1 = (8a+1).9 - 1= 72a + 8 =8(9a + 1)

Teremos: 9k+1 – 1 = 8(9a + 1)

Logo é divisível por 8 e por hipótese e a sua soma será também divisível por 8.

1. [pic 5] para todo inteiro  [pic 6].

Resposta:

1. n=1

P(1):  1³ = [pic 7]= [pic 8]

1 = 1        Ok! É verdadeira

1. Para algum k,  P(k) é verdadeira:

1³ + 2³+ . . . + k³ = [pic 9]

1³ + 2³+. . .+ k³ = [pic 10] 

1. Para um certo n=k+1

P(k+1):1³ + 2³+ . . . + k³+(k+1)³ = [pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

 [pic 17]

 

   Logo, para P(k+1) é verdadeira. Como queríamos demonstrar.

1. [pic 18] para todo inteiro  [pic 19] 

Resposta:

1. n=2

 [pic 20]

1. n=k  para P(k) teremos:

P(k):[pic 21]   

                    Para um certo n=k+1

                     P(k+1):[pic 22] 

                         [pic 23]

[pic 24]

                        [pic 25]

Questão 02.  IR é um corpo.

a)        Use a propriedade distributiva para mostrar que [pic 26].

Resposta:

Ao escrever que 0=0+0, teremos:

[pic 27]

1. Em geral, mostre que [pic 28], ∀ x ∈ IR

Resposta:

     Seja x ∈ R. Temos x = x.1, pela existência do elemento neutro na multiplicação, e
x.1 = x(1 + 0), pela existência do elemento neutro na adição. Pela distributividade, temos
x(1 + 0) = x.1 + x.0 = x + x.0 ⇒ x = x + x.0. Somando (−x) em ambos os membros, temos                x + ( −x) = x + ( −x) + x.0 ⇒ 0 = x.0. Logo, x.0 = 0, ∀ x ∈ R        como queríamos mostrar.

c)        ( IR não possui divisores de zero)  Mostre que se a⋅b = 0 então  a=0  ou b = 0  (pode usar que A⋅0=0)

Resposta:

Suponhamos que a ≠ 0. Assim existe a-1 Є R tal que a.a-1=1

Logo: a.b=0 => ( a.b) a-1=0 . a-1 => b(a.a-1)=0 => b=0

O caso é análogo para b ≠ 0.

d)        Demonstre que se x2 = y2 então x = y  ou  x = -y.

Resposta:

x² + ( −y²) = y² + ( −y²) = 0 ⇒ x² − y² = 0 ⇒ (x − y)(x + y) = 0.
Disso, temos (x − y) = 0 ⇒ x = y ou (x + y) = 0 ⇒ x = −y

e) Mostre que:         i)  x⋅(-y) = -xy  ;              ii) (-x)⋅y = -xy  ;                    iii) (-x) (-y) = xy