Aplicações de Equações de segunda ordem

1. Aplicações de equações diferenciais lineares de segunda ordem

Nessa seção de aplicações de equações diferenciais lineares de segunda ordem, vamos destacar aqui a modelagem de sistema massa mola e circuitos elétricos.

1.1        Sistema massa-mola

Figura 1: Sistema massa-mola

[pic 1]

FONTE: Boyce (2006)

O problema a seguir esta relacionado ao movimento de uma massa presa a uma mola, devido a um deslocamento inicial ou devido a uma for a externa, compreender esse sistema simples é de extrema importância para o entendimento de sistemas vibratórios mais complicados.

Considerando um objeto de massa m, preso em uma mola elástica de comprimento original l. Como a figura 3.2.1, observamos que essa massa produz uma elongação L da mola para baixo devido seu peso. Seja Fg a for a da gravidade que puxa a massa para baixo e tem magnitude mg, onde g é a aceleração da gravidade. A for a de restauração da mola Fs, puxa a massa para cima. Supondo uma elongação L pequena, esta for a é proporcional a L, logo pela lei de Hooke^[1] temos que Fs = kL: Se a massa está em equilíbrio então as for as se compensam mg = kL, assim se o sistema massa mola estiver em equilíbrio, temos que mg kL = 0.

Vamos considerar que u(t) é o deslocamento da massa referente a uma posição de equilíbrio no tempo t, medida para baixo. Se f Ø a soma das for as agindo em m. Aplicando a segunda lei de Newton :

        mu"(t) = F(t);        (4.9)

onde:

F(t) a força resultante (soma das for as aplicadas) é igual ao produto da massa m pela aceleração u": Além disso, Fs passa a ser - k(L + u).

Assim para obter F, vamos considerar a existência de cinco for as:

Peso: Pg = mg (para baixo)

        Força constante da mola: Fsc = - kL (for a para cima)

Força da mola: Fs = - ku(t) (for a restauradora, e é proporcional a u. Se u > 0, então a mola é estendida e a for a atua para cima, assim, Fs = - ku(t), Se u < 0, então a mola é comprimida de uma distância ∣u∣, e a for a restaurado atua para baixo, assim, Fs = k ∣u∣ = k( - u) = - ku, logo em qualquer caso, Fs = - ku(t):

For a de amortecimento: Fd(t) = - γu0(t) (contrária ao movimento, assumiremos que é proporcional a velocidade), se u0 > 0, temos que u é crescente, e a massa se move para baixo. Logo, Fd atua para cima e portanto Fd = - γu0, onde γ > 0; se u < 0, então u é decrescente, e a massa se move para cima. Assim, Fd atua para baixo e portanto                   Fd = -γu0  com γ > 0. Portanto temos que em qualquer caso temos que

Fd(t) = - γu0(t), γ > 0

Força externa: F(t) (for a externa)

Considerando a atração dessas cinco for as, a equação (4.9), é da seguinte forma

mu"(t) = mg + Fs(t) + Fd + F(t)

        ⟹ mu"(t) = mg         - k[L + u(t)] - γ u0(t) + F(t)        (4.10)

se mg = kL; a equação (4.10) se reduz

        mu"(t) + u0(t) + ku(t) = F(t);        (4.11)

onde u(t) é o deslocamento da massa a partir do seu ponto de equilíbrio e m, γ e k, são constantes positivas.

Problema 1: (Teixeira, p 71) Um corpo de massa 100 g estica uma mola 10 cm. O corpo está preso a um amortecedor viscoso. Considere a aceleração da gravidade como 103cm/s2 e suponha que o amortecedor exerce uma for a de 104dinas = 104g.cm/s2 quando a velocidade é 10 cm/s. Se o sistema é puxado para baixo 2 cm e depois solto, determine a posição u em função do tempo t.

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