Aplicação de EDO na engenharia Civil

Equações Diferencias na Engenharia

Introdução

As Equações Diferenciais é um tópico muito importante da Matemática que pode ser abordado de diversas maneiras, dependendo do objetivo. Em nosso caso específico trataremos as equações diferenciais como modelos formulados para descrever situações reais da Engenharia Civil e, neste sentido, vamos nos preocupar com técnicas de resolução sem abrir mão do processo de modelagem. Desta forma, veremos as Equações Diferenciais sob o ponto de vista da ”Matemática Aplicada”.

Dentro da Matemática Aplicada as Equações Diferenciais têm um papel relevante na ligação e interação com outras ciências, desde sua origem em problemas da Física e recentemente como ferramenta indispensável à nas demais áreas de exatas, principalmente na área de Engenharias. Assim, acreditamos que os primeiros passos para a modelagem de fenômenos reais, seriam bastante trôpegos se fosse descartada uma iniciação as Equações Diferenciais e optamos por considerar a ”Matemática Aplicada” não exatamente como uma ciência, mas como uma atitude no estudo da Matemática dentro do contexto científico em que ela se desenvolve. A Matemática Aplicada não deve ser considerada como uma disciplina estanque e descomprometida - ela é um instrumento intelectual poderoso que, através da abstração e formalização, sintetiza ideias as quais, embora semelhantes, surgem em situações as mais diversas e por isto mesmo camufladas na sua essência. O objetivo da Matemática é, então, extrair esta essência e formalizá-la em um contexto abstrato - o modelo - onde ela possa ser trabalhada intelectualmente, desenvolvida e absorvida com uma extraordinária economia de pensamento.

As leis da física geralmente são escritas com equações diferenciais. Portanto, toda ciência e engenharia usam equações diferenciais até certo grau. Entender equações diferenciais é essencial para entender quase tudo que você vai estudar nas suas aulas de ciência e engenharia. Você pode pensar na matemática como a linguagem de ciência e equações diferenciais como uma das partes mais importantes desta linguagem para ciência e engenharia.

Equações Diferencias na prática

        Então como usar equações diferencias na engenharia? Primeiro temos algum problema do mundo real que nós queremos entender. Nós introduzimos algumas hipóteses simplificadoras e criamos um modelo matemático. Isto é, nos traduzimos a situação o mundo real num conjunto de equações diferenciais. Depois aplicamos matemática para obter algum tipo de solução matemática. Ainda falta fazer uma coisa. Nos temos que interpretar os resultados obtidos. Nós temos de descobrir o que a solução matemática diz sobre o problema que começamos.

        Aprender como formular o modelo matemático e como interpretar os resultados é o que nós de fato precisamos fazer. Nesse trabalho vamos nos concentrar na análise de um modelo matemático para estudo de vigas engastadas. Antes vamos dar uma breve explicação sobre as E.D.O. e suas soluções.

1. Soluções de uma Equação Diferencial

Dada uma equação do tipo:

[pic 1]

Resolver a equação diferencial significa achar  em termos de . Isto é, queremos achar uma função em t, que nós vamos chamar x, tal que quando colocamos x, t e  em (1) a equação seja verdadeira. [pic 2][pic 3][pic 4]

Então, se afirmamos que  é solução da equação (1). Para verifica tal afirmativa basta substituir  na equação (1).[pic 5][pic 6]

Primeiro temos que calcular , assim temos:[pic 7]

[pic 8]

Logo, é solução da equação (1).[pic 9]

Então podem existir infinitas soluções para uma E.D.O.. De fato, para a equação (1) todas as soluções podem ser escritas da forma:

[pic 10]

Uma solução para uma Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) que pode ser escrita na foram de y = f(x) é chamada solução explicita. As vezes uma EDO possui solução que não pode ser obtida especificando-se parâmetros em uma família de soluções, tal solução é chamada de solução singular.

2. PROBLEMA DO VALOR INICIAL

Em geral estamos interessados na resolução de uma equação diferencial sujeita a determinadas condições prescritas, condições estas que são impostas à solução desconhecida y = y(x) e suas derivadas . Em algum intervalo I contendo x0.

Dada a equação [pic 11]

Sujeita as condições: [pic 12]

Onde x0, y0, y1, ..., y(n-1) são constantes reais especificadas, é chamado de problema de valor inicial (PVI) de ordem n. Os valores de y(x) e suas (n-1) derivadas em um único ponto x0 , são chamados de condições iniciais.[pic 13]

Com todas essas definições podemos apresentar uma aplicação de EDO na engenharia com do uso de PVI.

3. APLICAÇÃO DA EDO NA ENGENHARIA CIVIL

Uma viga em balanço tem seção transversal uniforme e suporta a força P na sua extremidade livre A. Determinar a equação da linha elástica, a flecha e a declividade no ponto A (ver Fig. 1).

Figura 1: Viga em balanço[pic 14]

3.1. ORGANIZAÇÃO DOS DADOS DO PROBLEMA

Os dados são organizados numa tabela (ver Tabela 1).

[pic 15]

Tabela 1. Dados do problema em análise

3.2. RELACIONAMENTO ENTRE AS VARIÁVEIS E PARÂMETROS

Na Engenharia Civil discute-se a flexão de vigas sob a ação de cargas (inclusive o próprio peso). A Fig. 2 ilustra uma viga prismática que, em geral, é discutida engastada ou biapoiada.

Admite-se que a viga é homogênea quanto ao material e é formada por fibras longitudinais

[pic 16]

Figura 2: Viga do tipo prismática

Na flexão visualizada as fibras da metade superior são comprimidas e as da metade inferior são tracionadas. Assim, a viga fica identificada por duas partes separadas por uma superfície neutra cujas fibras não sofrem tração nem compressão.