Aplicação Da Algebra Linear Na Engenharia Civil

Aplicação da Álgebra Linear na Engenharia Civil

Resumo: Este Trabalho discute a importância de apresentar aplicação no estudo da álgebra linear no curso de Engenharia Civil. Os problemas apresentados são solucionados através da resolução matricial dos sistemas lineares, que envolvem dados numéricos, permitindo sua resolução manual. Problemas reais, em geral apresentam dimensões maiores e necessitam do auxílio de softwares computacionais apropriados para a resolução.

Estudo da álgebra linear

A álgebra linear ocupa lugar de destaque nas diversas áreas da matemática. Sua importância tem crescido nas ultimas décadas. Os modelos matemáticos lineares assumiram um importante papel juntamente com o desenvolvimento da informática e como de se esperar, esse desenvolvimento estimulou o crescimento de interesse.

Aplicação na Engenharia Civil através de projetos de estruturas metálicas

Projetos de estrutura metálica composta por vigas metálicas exigem resolver um sistema de equações lineares; quanto mais complexa for esta estrutura, maior o numero de equações e de variáveis. A matriz dos coeficientes do sistema deve ser invertível para que a estrutura não colapse. Para uma mesma estrutura sujeita a forças que atuam sobre as vigas multiplicando-se a inversa da matriz que modela a estrutura metálica pela matriz-coluna das forças externas.

Exemplo: Seja um guindaste que deve erguer cargas, assim, pode-se dizer que se tem um problema de uma estrutura metálica na qual se quer determinar o esforço mecânico em cada viga da estrutura, de forma que se possam escolher as vigas com a resistência adequada.

Figura 1 – Diagrama da estrutura metálica composta por vigas

A partir do momento que se conhece a massa a ser suspensa e também o comprimento do braço deste guindaste, o cálculo das forças que incidem na estrutura torna-se imediato. Para que a estrutura permaneça em equilíbrio o somatório das forças em cada nó, de 1 a 6, deve ser nula tanto na direção horizontal como na direção vertical. Para tanto se calcula a força exercida por cada viga nos nós, ou seja, calcula-se a força, que significa a força exercida sobre o nó i pela viga que liga o nó i ao nó j. Exemplificando, toma-se o nó 2, que é afetado pelas vigas que o ligam aos nós 1,3 e 4. Suponha que θij representa o ângulo entre a viga (ij) e a vertical. Ou seja, no equilíbrio de forças, para o nó 2 tem-se as seguintes equações:

F₂₁ cos θ₂₁ + F₂₃ cos θ₂₃ + F₂₄ cos θ₂₄ = F₂ (12)

F₂₁ sen θ₂₁+ F₂₃ sen θ₂₃ + F₂₄ sen θ₂₄ = 0 (13)

Constroem-se as demais equações do somatório das forças para cada um dos nós, ou seja, tem-se:

F₁₂ cos θ₁₂ + F₁₃ cos θ₁₃ + F₁₄ cos θ₁₄ = F₁ (14)

F₁₂ sen θ₁₂+ F₁₃ sen θ₁₃ + F₁₄ sen θ₁₄ = 0 (15)

F₃₁ cos θ₃₁ + F₃₅ cos θ₃₅ + F₃₂ cos θ₃₂ + F₃₆ cosθ ₃₆ = F₂ (16)

F₃₁ sen θ₃₁ + F₃₅ sen θ₃₅ + F₃₂ sen θ₃₂ + F₃₆ sen θ ₃₆ = 0 (17)

F₄₁ cos θ₄₁ + F₄₅ cos θ₄₅ + F₄₂ cos θ₄₂ + F₄₆ cosθ ₄₆ = 0 (18)

F₄₁ sen θ₄₁ + F₄₅ sen θ₄₅ + F₄₂ sen θ₄₂ + F₄₆ sen θ ₄₆ = 0 (19)

E por fim constrói-se a equação que representa a situação em que a estrutura, como um todo, não tem nenhuma aceleração horizontal, promovendo o equilíbrio:

F₃₅ sen θ₃₅ + F₄₆ sen θ₄₆ + F₅₄ sen θ₅₄ + F₆₃ sen θ ₆₃ = 0 (20)

Faz-se Fij = - Fij e assim, pode-se escrever as equações (12)-(20) na forma matricial, isto é,

Af=F (21)

Onde:

f₁₂

f₁₃

f₁₄

f₂₃