As Questões Newton Raphson
Por: Carolina Araújo Figueiredo • 21/12/2021 • Trabalho acadêmico • 1.165 Palavras (5 Páginas) • 188 Visualizações
Disciplina: Cálculo Numérico aplicado a Engenharia de Alimentos
Professor: Geanilson Brito da Silva
Alunos: Carolina Araújo Figueiredo, Fernanda Hillary Duarte dos Santos, João Paulo de Melo Lins, Larisse do Socorro Silva Furtado e Maria Paula Chaves Pereira.
Turma: Engenharia de Alimentos 2019 Data: 06/11/2021
Método de Newton Raphson
1ª Questão - Carolina
Calcule a raiz aproximada da função com 5 casas decimais, e com chute inicial .[pic 1][pic 2][pic 3]
[pic 4]
x | [pic 5] | [pic 6] | [pic 7] | [pic 8] | Erro |
0 | 2 | 1 | 4 | 1,75 | |----------| |
1 | 1,75 | 0,06250 | 3,5000 | 1,73214 | 0,01786 |
2 | 1,73214 | 0,00031 | 3,46428 | 1,73205 | 0,00009 |
3 | 1,73205 | 0 | 3,46410 | 1,73205 | 0 |
[pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
O é a minha raiz dentro da tolerância de [pic 28][pic 29]
2ª Questão – Fernanda Hillary
Utiliza-se o método Newton Raphson para determinar a raíz real da função , com um intervalo de I=[0,1], considere xo=0,5, com quatro casas decimais e erro≤0,001.[pic 30]
1° passo: derivar a função [pic 31]
[pic 32]
2° passo: Calculando a primeiro quadrante (0), na função [pic 33]
f(0,5)=[pic 34]
F(0,5)= -1
3° passo: Substituindo 0,5 na derivada
[pic 35]
f(0,5)= 4,5
4° passo: jogando os valores na fórmula Xn+1=Xn -[pic 36]
0,5 -= 0,7222[pic 37]
Não é possível ainda calcular o erro. Dessa forma, 0,7222 vira meu próximo Xn, logo, repetimos o processo...
- Calculando o segundo quadrante (1), na função [pic 38]
f(0,7222)=[pic 39]
f(0,7222)= 0,3181
- Substituindo 0,7222 na derivada
[pic 40]
f(0,7222)= 7,4626
- jogando os valores na fórmula Xn+1=Xn -[pic 41]
0,7222 -= 0,6796[pic 42]
- encontrar o erro dos itens destacados em azul
0,7222-0,6796=0,0426
0,0426≥0,001, logo devemos continuar... 0,6796 vira o novo Xn
- Calculando o segundo quadrante (2), na função [pic 43]
f(0,6796)=[pic 44]
f(0,6796)= 0,0133
- Substituindo 0,6796 na derivada
[pic 45]
f(0,6796)= 6,8487
- jogando os valores na fórmula Xn+1=Xn -[pic 46]
0,6796 -= 0,6777[pic 47]
- encontrar o erro dos itens destacados em azul
0,6796-0,6777=0,002
0,002≥0,001, logo devemos continuar... 0,6777 vira o novo Xn
- Calculando o segundo quadrante (3), na função [pic 48]
f(0,6777)=[pic 49]
f(0,6777)= 3,36.[pic 50]
- Substituindo 0,6777 na derivada
[pic 51]
f(0,6777)= 6,8219
- jogando os valores na fórmula Xn+1=Xn -[pic 52]
0,6777 -= 0,6777[pic 53]
- encontrar o erro dos itens destacados em azul
0,6777-0,6777=0
0≥0,001 Logo, chegamos a raiz de 0,6777
Organizando na tabela...
x | Xn | F(x) | F´(x) | Xn+1=Xn-[pic 54] | erro |
0 | 0,5 | -1 | 4,5 | 0,7222 | |
1 | 0,7222 | 0,3181 | 7,4626 | 0,6796 | 0,0426 |
2 | 0,6796 | 0,0133 | 6,8487 | 0,6777 | 0,002 |
3 | 0,6777 | 3,36.[pic 55] | 6,8219 | 0,6777 | 0 |
4ª Questão - Larisse
Considere a função f(x)=x3-x-1, e ε=0,0002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: ξ1 = (-1, 0), ξ2 = (1, 2)
Solução:
Seja: x0=1
[pic 56]
1° interação:
[pic 57]
[pic 58]
Teste de parada:
[pic 59]
[pic 60]
2° interação:
Pegamos o valor de x1 e colocar na nossa função
[pic 61]
Teste de parada:
[pic 62]
[pic 63]
3° interação:
[pic 64]
Teste de parada:
[pic 65]
[pic 66]
4° interação:
[pic 67]
Teste de parada:
[pic 68]
[pic 69]
Sequência k gerada pelo método de Newton será:
Interação | Xk | Xk – Xk-1 | F(x) |
1° | 1,5000 | 0,5000 | 0,8750 |
2° | 1,3478 | 0,1522 | 0,1007 |
3° | 1,3252 | 0,0226 | 0,0020 |
4° | 1,3248 | 0,0005 | 1,0352x10-6 |
O x4 é a minha raiz que tende a 0 dentro da minha tolerância de ε=0,0002.
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