As Questões Newton Raphson

Disciplina: Cálculo Numérico aplicado a Engenharia de Alimentos

Professor: Geanilson Brito da Silva

Alunos: Carolina Araújo Figueiredo, Fernanda Hillary Duarte dos Santos, João Paulo de Melo Lins, Larisse do Socorro Silva Furtado e Maria Paula Chaves Pereira.

Turma: Engenharia de Alimentos 2019            Data: 06/11/2021

Método de Newton Raphson

1ª Questão - Carolina

Calcule a raiz aproximada da função  com 5 casas decimais,  e com chute inicial .[pic 1][pic 2][pic 3]

[pic 4]

x	[pic 5]	[pic 6]	[pic 7]	[pic 8]	Erro
0	2	1	4	1,75	|----------|
1	1,75	0,06250	3,5000	1,73214	0,01786
2	1,73214	0,00031	3,46428	1,73205	0,00009
3	1,73205	0	3,46410	1,73205	0

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

O  é a minha raiz dentro da tolerância de [pic 28][pic 29]

2ª Questão – Fernanda Hillary

 Utiliza-se o método Newton Raphson para determinar a raíz real da função , com um intervalo de I=[0,1], considere xo=0,5, com quatro casas decimais e erro≤0,001.[pic 30]

1° passo: derivar a função [pic 31]

[pic 32]

2° passo: Calculando a primeiro quadrante (0), na função [pic 33]

 f(0,5)=[pic 34]

F(0,5)= -1

3° passo: Substituindo 0,5 na derivada

 [pic 35]

f(0,5)= 4,5

4° passo: jogando os valores na fórmula Xn+1=Xn -[pic 36]

0,5 -= 0,7222[pic 37]

Não é possível ainda calcular o erro. Dessa forma, 0,7222 vira meu próximo Xn, logo, repetimos o processo...

1. Calculando o segundo quadrante (1), na função [pic 38]

f(0,7222)=[pic 39]

f(0,7222)= 0,3181

1. Substituindo 0,7222 na derivada

 [pic 40]

f(0,7222)= 7,4626

1. jogando os valores na fórmula Xn+1=Xn -[pic 41]

0,7222 -= 0,6796[pic 42]

1. encontrar o erro dos itens destacados em azul

0,7222-0,6796=0,0426

0,0426≥0,001, logo devemos continuar... 0,6796 vira o novo Xn

1. Calculando o segundo quadrante (2), na função [pic 43]

f(0,6796)=[pic 44]

f(0,6796)= 0,0133

1. Substituindo 0,6796 na derivada

 [pic 45]

f(0,6796)= 6,8487

1. jogando os valores na fórmula Xn+1=Xn -[pic 46]

0,6796 -= 0,6777[pic 47]

1. encontrar o erro dos itens destacados em azul

0,6796-0,6777=0,002

0,002≥0,001, logo devemos continuar... 0,6777 vira o novo Xn

1. Calculando o segundo quadrante (3), na função [pic 48]

f(0,6777)=[pic 49]

f(0,6777)= 3,36.[pic 50]

1. Substituindo 0,6777 na derivada

 [pic 51]

f(0,6777)= 6,8219

1. jogando os valores na fórmula Xn+1=Xn -[pic 52]

0,6777 -= 0,6777[pic 53]

1. encontrar o erro dos itens destacados em azul

0,6777-0,6777=0

0≥0,001 Logo, chegamos a raiz de 0,6777

Organizando na tabela...

x	Xn	F(x)	F´(x)	Xn+1=Xn-[pic 54]	erro
0	0,5	-1	4,5	0,7222
1	0,7222	0,3181	7,4626	0,6796	0,0426
2	0,6796	0,0133	6,8487	0,6777	0,002
3	0,6777	3,36.[pic 55]	6,8219	0,6777	0

4ª Questão - Larisse

 Considere a função f(x)=x3-x-1, e ε=0,0002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: ξ1 = (-1, 0), ξ2 = (1, 2)

Solução:

Seja: x0=1

[pic 56]

1° interação:

[pic 57]

[pic 58]

Teste de parada:

[pic 59]

[pic 60]

2° interação:

Pegamos o valor de x1 e colocar na nossa função

[pic 61]

Teste de parada:

[pic 62]

[pic 63]

3° interação:

[pic 64]

Teste de parada:

[pic 65]

[pic 66]

4° interação:

[pic 67]

Teste de parada:

[pic 68]

[pic 69]

Sequência k gerada pelo método de Newton será:

Interação	Xk	Xk – Xk-1	F(x)
1°	1,5000	0,5000	0,8750
2°	1,3478	0,1522	0,1007
3°	1,3252	0,0226	0,0020
4°	1,3248	0,0005	1,0352x10-6

O x4 é a minha raiz que tende a 0 dentro da minha tolerância de ε=0,0002.