As Regras Derivação

CÁLCULO DAS DERIVADAS

A derivação (ou diferenciação) é o processo de determinar a derivada de uma função, a qual é definida por:

                        [pic 1]

REGRAS DE DERIVAÇÃO

1 - A derivada da função constante é igual a zero.

Ou seja, se [pic 2] então [pic 3] ou então [pic 4].

Exemplos: [pic 5]        [pic 6]        [pic 7]

2 - A derivada da função identidade é igual a 1.

Ou seja, se [pic 8] então [pic 9] ou então [pic 10].

3 - A derivada do produto de uma constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função.

Ou seja, se [pic 11] então [pic 12] ou então [pic 13].

Exemplos:

i) Se [pic 14] então [pic 15]

ii) Se [pic 16] então [pic 17]

OBSERVAÇÃO:         Binômio de Newton:  [pic 18]

Se         [pic 19]

        [pic 20]

        [pic 21]

        [pic 22]

        [pic 23]

Agora:

[pic 24]

onde         [pic 25]

Observe que:

[pic 26]        [pic 27]                [pic 28]

Portanto:

[pic 29]

4 - Se n é um número inteiro positivo então [pic 30].

Ou seja, se [pic 31] então [pic 32] ou [pic 33].

Exemplos:

i) Se [pic 34] então [pic 35]

ii) Se [pic 36] então [pic 37]

iii) Se [pic 38] então [pic 39]

iv) Se [pic 40] então [pic 41]

5 - A derivada da soma é a soma das derivadas.

Ou seja, [pic 42] ou então [pic 43]

OBSERVAÇÕES:

(i) De maneira análoga, a derivada da diferença de duas funções é a diferença das derivadas dessas funções, ou seja:

        [pic 44] ou então [pic 45]

(ii) Os resultados anteriores podem ser estendidos para qualquer número de funções, ou seja:

[pic 46]

ou

[pic 47]

Exemplos:

1) Calcule a derivada das seguintes funções:

i) [pic 48] 

ii) [pic 49]

iii) [pic 50]

iv) [pic 51]

2) Sendo [pic 52] , calcule [pic 53]:  

3) Sendo [pic 54] , calcule [pic 55]:

6 - Regra do produto: A derivada do produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada da segunda função

[pic 56]     ou    [pic 57]

Demonstração:

Exemplos:

Calcule a derivada das seguintes funções:

i) [pic 58] 

ii) [pic 59]

7 - Regra do quociente:

[pic 60]   ou    [pic 61]

Exemplos:

Calcule a derivada das seguintes funções:

a) [pic 62]

b) [pic 63]

c) [pic 64]

d) [pic 65] 

Regra da potência para expoentes negativos

A regra da potência também é válida para expoentes negativos, ou seja:

[pic 66]

Exemplos:

Calcule a derivada das seguintes funções:

a) [pic 67]

b) [pic 68]

c) [pic 69]

Regra da Cadeia - Função Composta

Se f e g são funções diferenciáveis e [pic 70] for a função composta definida por [pic 71] então h é diferenciável e [pic 72] é dada por:

                        [pic 73]

Ou se y = f(x) e u = g(x) forem funções diferenciáveis então:

  [pic 74]

Exemplos:

Calcule a derivada das funções abaixo:

i) [pic 75]

ii) [pic 76]

Regra da Potência combinada com a regra da cadeia

[pic 77]

Onde u é uma função de x.

OBERVAÇÃO: Se y depende de u e u depende de z e z depende de x, a regra da cadeia torna-se:

                        [pic 78]

Exemplos:

Calcule as derivadas das seguintes funções:

i) [pic 79]

ii) [pic 80]

iii) [pic 81]

Função Implícita

A função implícita y = f(x) expressa y diretamente ou explicitamente em função de x. Quando y é definido como função de x por meio de uma equação f(x, y) = 0 dizemos que a equação determina y como função implícita de x.