As regras para resolver equações

MatemáThiCa

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EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Uma equação é uma igualdade que se verifica para apenas

alguns valores das incógnitas. Por exemplo, a equação x + 3 = 5 apenas

se verifica para o valor de x = 2. Aos valores que satisfazem a equação,

damos o nome de raízes da equação.

Para resolver equações do primeiro grau, partimos de dois princípios:

• Quando trocamos um dos termos de lado, mudamos o seu

sinal. Por exemplo, a equação 3x + 2 = x – 5, é equivalente à

3x – x = – 5 – 2, pois trocamos o x e o 2 de lado, e mudamos

o seu sinal.

• Podemos multiplicar ou dividir os dois lados da equação por

qualquer numero diferente de 0. Por exemplo, a equação – x =

5 é equivalente à equação x = – 5, pois multiplicamos os dois

lados por – 1.

Além disso, para resolver as equações do primeiro grau, seguimos 3

passos:

• Reduzir todos os fatores ao mesmo denominador (se

necessário);

• Isolar todos os termos com incógnita de um dos lados, e todos

os termos sem incógnita do outro;

• Calcular o valor da incógnita;

Exercícios de Fixação:

1. Resolva as seguintes equações:

a)

( )

4 0

3

2 2

+ =

x −

b)

3

2

5

4

3 2

−

=








+

x

x

c)

24

5 2

48

7 3

12

1 −

=

−

+

x − x x

d) 7

3

8

4

+ = +

x x

2. Resolva as seguintes equações, no universo dos números reais:

a)5(x + 3) − 2(x −1) = 20

b) 7x − 2 = −16

c) 2(x −1) −1 = −8

d)3(x −1) = 2x +1

e) 2 − 3.(2x −1) = 0

f) 0,3x + 6 = 0,5x + 2

g) 5

2 3

+ =

x x

h)

15

2( 2)

10

1

10

3( 4) −

+ =

x − x

SISTEMAS DE EQUAÇÕES

Um sistema de equações é a reunião de equações que devem

ser resolvidas simultaneamente. Uma solução do sistema é um conjunto

de valores que, quando atribuídos a cada uma das incógnitas, tornam o

sistema verdadeiro. Por exemplo, no sistema

 

− =

+ =

1

5

x y

x y

, observamos

que o sistema é verdadeiro para x = 3 e y = 2, isto é, para o par ordenado

(3,2). Dizemos que esse par ordenado é a solução do sistema.

Para resolver um sistema, isto é, encontrar sua solução,

contamos com dois métodos: o método da adição, e o método da

substituição:

• O método da adição consiste em multiplicar uma das equações

do sistema por um número, e somar à outra equação (membro

a membro), a fim de que se anule uma das incógnitas.

Por exemplo, no sistema

 

+ =

+ =

2 7 13

2 5

x y

x y

, podemos

multiplicar a primeira equação por – 2, obtendo:

 

+ =

− − = −

2 7 13

2 4 10

x y

x y

. Somando membro a membro,

encontraremos que 3y = 3 , e assim y = 1. Para encontrar

o valor de x que satisfaz o sistema, basta substituir o valor de y

em um das duas equações, p2or exemplo, na primeira,

teremos x + 2 = 5 , daí, x = 3. Assim, a solução do

sistema é o par ordenado (3,1).

• O método da substituição consiste em isolar uma incógnita em

função da outra, através de uma das equações, a fim de

substituir na outra, e assim resolver uma equação de apenas

uma incógnita. Por exemplo, no mesmo sistema acima,

 

+ =

+ =

2 7 13

2 5

x y

x y

, podemos usar a primeira equação para

escrever que x = 5 − 2y . Substituindo na outra equação,

teremos: 2(5 − 2x) + 7 y = 13 . Daí, 3y +10 = 13 ,

donde segue que y = 1. Substituindo o valor encontrado em

qualquer uma das duas equações, encontraremos x = 3.

Exercícios de Fixação:

1. Resolva e classifique os sistemas de equações:

a)

 

− =

+ =

3 2 4

2 5 9

x y

x y

b)

 

+ =

− =

3 2 7

4 2

x y

x y

c)

 

− =

+ =

6

20

x y

x y

d)

  =

+ + =

6 9 15

2 3 5

x y

x y

e)





− − =

=

+

−

2 (1 ) 0

5

3

2

x y

x

y

2. Numa sala há tamboretes de 3 pernas e cadeiras de 4 pernas. Sendo

43 o número total de pernas, e 12 o número total de cadeiras e

tamboretes, determine o número de cadeiras.

3. [Agente Administrativo – Pref. Arcoverde/PE – UPENET – 2008] Um

copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu

peso cai para 180g. O peso do copo vazio é de:

a) 20g b) 25g c) 35g d) 40g e) 45g

Desafio:

4. [PA] Eu tenho casas e você tem casas. Eu tenho mais casas do que

você. Se eu te der uma casa ficamos com o mesmo número de casas,

mas por outro lado, se você me der uma casa eu fico com o dobro do

número de casas em relação a você.

Pergunta: Quantas casas temos juntos???

Gabarito

Equação

1.

a) -4 b) -46/85 c) 3 d) 12

2.

a) 1 b) -2 c) -2 d) 4

e) 5/6 f) 20 g) 6 h) 5

Sistemas de Equações

1.

a)
= 2 e  = 1 b)
= 1 e  = 2 c)
= 13 e  = 7

d) infinitas soluções e)
= −2 e  = 5

2. 7

3. c

4. 12