As soluções dessa equação precisam ser linearmente independentes

EDLH2ºO

        As soluções dessa equação precisam ser linearmente independentes.

Ao supor uma solução: verificar se ela é L.I. pelo Wronskiano. (Precisa ser diferente de zero para ser L.I.).

Se tiver já uma solução: Utilizar D’Alambert da seguinte forma:

        Supor: y2 = y1*u

        Derivar quantas vezes for preciso e substituir na equação original.

Na equação original: isolar os termos de y1 que forem parecidos com a equação original e zera-los (por que são parecidos com a eq. Hom. Original).

Troca de variáveis: se o resultado tiver na forma: u’’+6u’ = 0, utilizar: z=u’ e z’=u’’. Resolver pelo método convencional (geralmente pela eq. De 1º ordem).

Retorno das variáveis: retornar e integra-las.

EDLH2ºO Coef. Cte.

        São equações que não tem nenhuma letra (variável) multiplicando ela.

        Resolução: Encontrar a homogênea, enquadrar nos casos 1, 2 e 3:

        Caso 1 (raízes reais e distintas):

[pic 1]

        Caso 2 (reais e iguais):

[pic 2]

        Caso 3 (Complexas):

[pic 3]

Sistemas que Oscilam.

        Amortecimentos:

[pic 4]

        Condições de criticidade:

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Cauchy Euler.

        É uma equação da forma:

[pic 8]

        Sua equação característica:

[pic 9]

Resolução: encontrar na equação dada os termos a, b e c e substituir na equação acima. Encontrar as raízes e aplicar nos casos:

        Caso 1 (Raízes reais e distintas):

[pic 10]

        Caso 2 (Raízes reais e iguais):

[pic 11]

        Caso 3 (Raízes complexas):

[pic 12]

EDL2ºO não-homogênea com Coef. Cte.

Requisitos para funcionar: precisa ter coef. Ctes. Ser exponencial, polinomial, seno, cosseno ou alguma combinação desses tipos.

        Tem a forma:

[pic 13]

        Tem a solução:

[pic 14]

Resolução: encontrar a solução da eq. Homogênea, e de acordo com quem for o r(t) supor uma possível solução de acordo com a tabela. Derivar a solução suposta quantas vezes for preciso e substituir o lado esquerdo da equação original. Dessa substituição, igualada com r(t), então determinar por inspeção as constantes A, B, C, etc.

[pic 15]

Obs: somente aplicar as C.I.’s quando tiver a solução completa com a homogênea.

Obs: se alguma suposição da tabela for igual a algum termo da solução homogênea já encontrada, então deve-se multiplicar por t quantas vezes forem necessárias até que todos os termos da solução particular sejam diferentes.

EDL2ºO não-homogênea com Coef. Cte Variação dos Parâmetros.

Requisito: os mesmos anteriores. A diferença é que este caso não é possível resolver por nenhuma suposição da tabela.

Importante: para esse método, deve-se

A solução particular terá a forma:

[pic 16]

        Onde y1 e y2 foram retirados da solução homogênea:

[pic 17]

Resolução: encontrar a solução homogênea. Retirar os termos y1 e y2 que acompanham as constantes e lançar na matriz para obter o determinante:

[pic 18]

Aplicar a regra de Cremer e determinar w1 e w2 pelos determinantes:

Obs IMPORTANTE: para esse instante, o primeiro termo da equação principal deve estar livre de qualquer variável, então, se for o caso, dividir toda a equação, incluindo r(t), pela variável que acompanha esse primeiro termo. (ex: x^2y’’ -2y = x^2 → y’’-2/(x^2)y = 1).