Atividade Praticas: O Conceito de Derivada

olizada por f (x).

Como também estamos simbolizando a função produção como função

de x, isto é, P = f(x), temos a função derivada da produção também sim-

bolizada por P' ou P' = f (x).

Para a função produção são sugestivos os resultados das derivadas obti-

das conforme a Tabela 6.2, pois cada resultado de f'(a) é o dobro do valor

do instante x = a. Para esse caso, parece plausível que f'(x) = 2x ou P' = 2x.

Função Derivada

Na verdade, representando a taxa de variação da função f(x) com

respeito à variável x, definimos a derivada de f(x) em relação a x por

f (x) = j™ f(x+h)-f(x)

Para a função f(x) = x2, especulamos, a partir dos resultados obtidos na

Tabela 6.2, que a função derivada é dada por f (x) = 2x.

A partir da definição de função derivada, vamos verificar se tal função

ir . i lmnitc representa a derivada da produção ou, em outras palavras,

\ s calcular algebricamente a derivada de f(x) = x2:

170

Capítulo 6 - O Conceito de Derivada

Pela definição

f(x) = Hm f ( x + h ) - f ( x )

Aplicando a função em (x + h) e em x

- l im

~

Colocando h em evidência e cancelando-o

Em tal limite, quando h -* O, temos (2x +h) -» 2x, então

Concluímos que, de fato, f (x) = 2x.

Vamos agora recordar cada um dos conceitos discutidos durante este

capítulo resolvendo os itens do problema proposto a seguir:

Problema: Na comercialização de um componente químico líquido, uti-

lizado na fabricação de sabão e detergente, a receita R para a venda da

quantidade q é dada por R(q) = 4<?2, onde a receita é dada em reais (R$) e

a quantidade é dada em litros (/).

a) Determine a taxa de variação média da receita para o intervalo

4 s q -s 6. Qual é o seu significado gráfico?

c i - T j • - - i- variação em R AR

solução: lemos que taxa de variação media = = ou

variação em q Aq

ainda

Taxa de variação média R (6 )_ R(4) 5 . 62 _ $ . 42

de R(q) para o intervalo = -

de 4 até 6 6-4

180-80 100

= _=50R$//

171

1 . 1 l m itii i A| ,h, . , l i i Administrai , » > . l . OnOmia n ' ont.ihilul.iclc

Graficamente, representa a inclinação da reta secante AB, onde

A = (4; R(4)) = (4; 80) e B = (6; R(6)) = (6; 180).

\R = 1(10

b) Determine, numericamente, a taxa de variação instantânea da receita

para q = 1.

Solução: A taxa de variação instantânea para q = l é dada por

Taxa de variação instantânea _ jim R(l + h) - R( l )

de R(q) em q = l h - o ~ ^

Para calcular tal taxa, vamos estimar os limites laterais de acordo com

a tabela a seguir. Observação: Optamos por utilizar b = ±0,1, b = ±0,01 e

h = ±0,001, mas poderíamos utilizar outros valores desde que h -» 0.

h

i

o-

h

i

Ri

-0,01

_0,001

0,01

0,001

(1-0,1) -R(l) R(0,9)-R(1) 5-0,92-5.12

-0,1 -0,1 -0,1

... = 9,95

... = 9,995

(1 + 0,1)- R(l) R(1,1)-R(1) 5-l,l2-5.12

0,1