Atps Calculos Numericos

Conceitos Básicos

1.1 Introdução

Pretendemos neste capítulo relembrar alguns conceitos básicos, que irão facilitar a compreensão dos métodos numéricos apresentados nos próximos capítulos. A maioria dos conceitos aqui apresentados são de álgebra linear e isso se deve ao fato de que os resultados da álgebra linear, em geral, e da teoria dos espaços vetoriais, em particular, na análise numérica e tão grande, que estudo pormenorizado desses assuntos cada vez mais se justifica. Assim maiores detalhes sobre os assuntos aqui abordados podem ser encontrados em livros de álgebra linear.

Para iniciar vamos examinar dois conjuntos que certamente já são conhecidos do leitor. O primeiro e o conjunto dos vetores da geometria, definidos através de segmentos orientados, e o outro e o conjunto das matrizes reais m × n.

`A primeira vista pode parecer que tais conjuntos não possuem nada em comum. Mas não e bem assim conforme mostraremos a seguir.

No conjunto dos vetores está definida uma adição dotada das propriedades comutativa, associativa, além da existência do elemento neutro (vetor nulo) e do oposto.

Além disso, podemos multiplicar um vetor por um número real. Essa multiplicação tem as seguintes  propriedades (já certamente vista por você no seu curso):

 (u + v) = u + v,

( + )u = u + u,

()u = (u),

1 • u = u ,

Onde u, v são vetores e , são escalares quaisquer.

No conjunto das matrizes também está definida uma adição dotada também das propriedades associativa, comutativa, admite elemento neutro, a matriz nula, e toda matriz tem uma oposta.

Como vemos o comportamento do conjunto dos vetores e o das matrizes quanto à adição e o mesmo.

Mas não param por aís as coincidências. Pode-se também multiplicar uma matriz por um número real. Essa multiplicação apresenta as mesmas propriedades que as destacadas para o caso de vetor, ou seja, valem as seguintes igualdades:

 (A + B) = A + B,

( + )A = A + A ,

()A = (A) ,

1 . A = A,

Passo 2 (Equipe)

Ler os desafios propostos:

1. Desafio A

Nos gráficos a seguir, é apresentada uma interpretação geométrica da dependência

e independência linear de dois e três vetores no R³ :

a) b)

c)

De acordo com os gráficos anteriores, afirma-se:

I – os vetores V1 e V2 apresentados no gráfico (a) são LI (linearmente independentes);

Resposta: Não, V1 e V2 estão apresentados na mesma reta que passa pela origem portanto é LD (Linearmente Depentes)

II – os vetores V1, V2 , e V3 apresentados no gráfico (b) são LI;

Resposta: É LI (linearmente independente), Pois V3  (V1 e V2).

III – os vetores V1, V2 e V3 apresentados no gráfico (c) são LD (linearmente

dependentes);

Resposta: Sim, pois quando dois vetores V1 e V2 não paralelos geram um plano pela origem. Se um terceiro vetor V3 estiver nesse plano, isto é V3  (V1, V2) o conjunto (V1,V2,V3) é LD (Linearmente dependentes).

2. Desafio B

Dados os vetores u = (4, 7, -1) e v = (3, 10, 11), podemos afirmar que u e v são linearmente independentes.

Resposta:

u = (4, 7, -1) e v = (3, 10, 11) u = (4, 7, -1) e v = (3, 10, 11)

a . (4, 7, -1) + b . (3, 10, 11) = 0,0,0 =  

(4a, 7a, -a) + (3b, 10b, 11b) = 0,0,0

4a + 3b = 0

7a + 10b = 0

-a + 11b = 0

1) -a + 11b = 0

-a = -11b (-1)

a = 11b

2) 4a + 3b = 0

4(11b) + 3b = 0

44b + 3b = 0

47b = 0

b =

b = 0

3) 7a + 10b = 0

7(11b) + 10b = 0

77b + 10b = 0

87b = 0

b =

b = 0

4) -a + 11b = 0

-a + 11(0) = 0

-a + 0 = 0

-a =

-a = 0

Resposta: LI (Linearmente Independente).

3. Desafio C

Sendo w (3, 3, 4) E e w ( 1, 2, 0) E, a tripla coordenada de w = 2w - 3w na base E é (9, -12, 8) E .

w1 = (3, -3, 4) E e w2 = (-1, 2, 0) E

w = 2w1 – 3w2 = (9, -12, 8) E

w = 2(3, -3, 4) – 3(-1, 2, 0)

w = (6, -6, 8) – (-3, 6, 0)

w = (6, -6, 8) + (3, - 6, 0)

w = (9, -12, 8)

Resposta: