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2- Sejam os vetores u(2,a,-1) , v(3,1,-2) e w(2a-1,-2,4) determinar a de modo que u.v=(u+v).(v+w)?

u(2, a, -1) , v(3, 1, -2), w(2a - 1, -2, 4) e u.v = (u+v).(v+w)

uv = (2, a, -1).(3, 1, -2) = 6 + a + 2 = a + 8

u + v = (2, a, -1) + (3, 1, -2) = (5, a + 1, - 3)

v + w = (3, 1, -2) + (2a -1, -2, 4) = (2a + 2, -1, 2)

(u+v).(v+w) = (5, a + 1, -3).(2a + 2, -1, 2) = 10a + 10 - a -1 - 6 = 9a + 3

u.v = (u+v).(v+w) -> a + 8 = 9a + 3 -> 8a = 5 -> a = 5/8

4- Determinar o vetor v, paralelo ao vetor u=(2,-1,3), tal que v.u=-42.?

(2t , -t , 3t).(2,-1,3) = 4t +t +9t = -45 --> 14t= -42 --> t= -3

logo vetor v=(2.(-3) , -(-3) ,3.(-3) ) = ( -6 , 3 , -9)

6-Determinar o vetor v, ortogonal ao eixo OY, vetor v.v1 = 8 e v . v2=-3, sendo v1 = (3,1,-2) e v2= (-1,1,1).

V. J = o >>> V . (0,1,0) = 0

(a, b, c) . (0,1,0) = 0

0 + b + 0 = 0

b = 0, primeira coordenada b do vetor v encontrada, então agora, v = (a, 0, c)

2º - v.v1 = 8

(a, 0, c). (3,1,-2) = 8

3a + 0 - 2c = 8

3a - 2c = 8 [ conserva esse resultado, que chamaremos de (1) ]

3º - v2=-3

(a, 0, c) . (-1,1,1) = +3

-a +0 + c = -3

-a + c = -3 [ esse resultado chamaremos de (2)

note que, agora para encontrar a e b, temos um sistema homogêneo, formado por duas equações e duas incógnitas:

| 3a - 2c = 8

| - a + c = -3

isolando c em (2) tem-se: c = -3 + a ou c = a - 3

substituindo o c de (2) em (1):

3a - 2( a- 3 ) = 8

3a - 2a + 6 = 8

a+ 6 = 8

a = 8 - 6

a = 2 ( coordenada a do vetor v, que agora fica: v = (2,0 c)

substituindo o valor de a em qualquer das 2 equações:

c = a - 3

c = 2 - 3

c = -1

Portanto o vetor v = ( a, b, c) é igual a v = (2 , 0, -1)

8- Sabendo que |u| = 2, |v| = 3 e v • u = −1, calcule:

a) (v-3v).u

(u -3v).u = u² -3vu = | u |² -3vu = ( 2 )² - 3( -1 ) = 4 + 3 = 7

b) (2v-u).(2v)

(2v - u).(2v) = 4v² -2uv

⇒ (2v - u).(2v) = 4| v |² -2vu

⇒ (2v - u).(2v) = 4( 3 )² -2( -1 ) = 4.9 + 2 = 38

C) (U+V).(V-4U)

UV -4UU+VV-4UV

-1 -4.2.2 + 3.3-4(-1)

-1-16+9+4

-17+13= -4

d) (3u+4v).(-2u-5v)

-6u.u-8u.v-15uv-20v

-6IUI²-23uv-20IVI²

-6.2²-23.(-1)-20.3²

-24+23-180

23-204

-181

10- Os pontos A, B, C são vértices de um triangulo equilátero cujo lado mede 20cm. Calcular AB.AC e AB.CA

AB.AC= [AB].[AC].SEN 60º ---- AB.AC= 20.20.(0,5)= 200

AB.CA= [AB].[CA].SEN 60º---- AB.CA= 20.(-20).(0,5)= -200

12- Calcular |u+v|, |u-v| e (u+v).(u-v), sabendo que |u|=4, |v|=3 e o angulo entre u e v é de 60?

u+v=(3+2,0+2.raiz de 3) = (5,2.raiz de 3)

|u+v|=raiz de(5²+(2.raiz de 3)²)

|u+v|= raiz de 37

u-v=(2-3,2.raiz de 3-0)

u-v=(-1,2.raiz de 3)

|u-v|=raiz de(-1²+(2.raiz de 3)²)

|u-v|=raiz de 13

(u+v).(u-v)=(5,2.raiz de 3).(-1,2.raiz de 3)

(u+v).(u-v)=(5.-1)+(2.raiz de 3.-2.raiz de 3)

(u+v).(u-v)=-5+12=7

14- Verificar para os vetores u=(4,-1,2) e v =(-3,2,-2)as desigualdades

| x . y | < = |x| • |y|.(shwarz)

| u+v | < = |u| + |v|. (triangular)

u*v = (4, -1, 2)*(-3, 2, -2) = -12 - 2 - 4 = -18

Iu*vI = 18= \/¨324

IxI² = 16 + 1 + 4 = 21

IxI = \/¨21

IvI² = 9 + 4 + 4 = 17

IvI = \/¨17

IuI * IvI = \/¨(21*17) = \/¨357

como \/¨324 < \/¨(21*17), então a desigualdade está verificada.

u+v = (1, 1, 0)

Iu+vI² = 1 + 1 = 2

Iu+vI = \/¨2

IuI = \/¨21

IvI= \/¨17

Como \/¨2 < \/¨(21*17), então a desigualdade está verificada.

16- Dados os vetores a = (2, 1, α), b = (α + 2, -5, 2) e c = (2α, 8, α), determinar o valor de α para que o vetor a + b seja ortogonal ao vetor c – a.

a+b=(α +4, -4 , α +2)

c-a=(2α -2 , 7, α -α )

(a+b)(c-a)=(α +4, -4 , α +2)(2α -2 , 7, 0 )=

2α ²-2α +8α -8-28=0

2α ²+6α -36=0

α ²+3α -18=0

∆=9+72= 81

α=(-3+- 9)/2

ou

α=(6)/2=3

α=3

e

α=(-3- 9)/2=-6

α= - 6

18- Provar que os pontos A( -1, 2, 3), B(-3,6,0)