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No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

A fórmula típica é a seguinte, onde e são funções de classe C1 no intervalo , ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre ae b.

A fórmula canônica é dada pela seguinte expressão:Considerações iniciais[editar]

A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua essência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diversas, que concordam, porém, em resultado numérico.

Devido à necessidade de exercício dessas técnicas que apresentaremos, teremos mais exemplos neste capítulo, uma ótima maneira de introduzir o conteúdo enquanto a teoria é exposta. A natureza diversa das formas de integrais nos obriga a fazer este estudo a parte, pois certas funções são peculiarmente difíceis de serem analisadas antes da utilização de algum artifício que permita sua simplificação, este é o objetivo deste capítulo: trazer ao leitor os processos de integração e as diversas possibilidades de simplificação de funções para a aplicação destes processos.

Por partes[editar]

A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto, ou seja:

d(uv)=udv+vdu

Que após a antidiferencial se torna:

\int d(uv) = \int udv + \int vdu

uv = \int udv + \int vdu

E, portanto:

\int udv = uv - \int vdu

A utilização desta fórmula para melhorar o processo de integração implica na necessidade de uma breve explanação, o processo consiste em observar a função a ser integrada como sendo uma integral \int udv, ou seja, devemos separar a função em duas partes: uma, chamamos de u, que consideraremos função primitiva e outra dv que será uma diferencial, desta forma, faremos a integração da parte dv para encontrar v e depois subtrairemos a integral da mesma com relação a diferncial de u: du. Parece um tanto incomun a princípio, porém após o hábito no uso da técnica, esta se torna muito útil.

Outro fato deve ser explorado: como o processo demanda a integração da diferencial dv nos vem a questão sobre a necessidade de utilização da constante de antidiferenciação C, portanto façamos a verificação da fórmula utilizando-a:

Se v = \int dv + C ,

\int udv = u\left(\int dv +C\right)- \int \left(\int dv +C\right)du

\int udv = u\left(\int dv\right) +uC- \left(\int \left(\int dv\right)du + uC \right)

\int udv = u\left(\int dv\right) +uC- \int \left(\int dv\right)du - uC

\int udv = u\left(\int dv\right) - \int \left(\int dv\right)du

\int udv = uv - \int vdu

Ou seja, a constante é dispensável para o cálculo da integral que resulta em v.

Exemplo 1 - Caso do logaritmo[editar]

Utilização da integração por partes na resolução da integral do logaritmo natural:

\int \ln(x) dx

Separamos a diferencial dx e a primitiva ln(x) , procedendo as operações inversas:

v=\int dx=x

depois:

u=\ln(x)

du=\frac{1}{x}dx

Aplicando à fórmula de integração por partes:

\int \ln(x) dx=x\ln(x)-\int x \frac{1}{x} dx

\int \ln(x) dx=x\ln(x)-\int dx

\int \ln(x) dx=x\ln(x) - x + C

\int \ln(x) dx=x[\ln(x) - 1] + C

Também há os que preferem simplificar mais, desta forma:

\int \ln(x) dx=x[\ln(x) - \ln(e)]

\int \ln(x) dx=x \left[\ln \left(\frac{x}{e}\right)\right]

\int \ln(x) dx=\ln \left(\frac{x}{e}\right)^x + C

Sendo C a constante de antidiferenciação.

Exemplo 2 - Caso do arcseno[editar]

Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arcseno:

\int arcsen(x) dx

Separamos as partes e operamos para encontrar as respectivas inversas:

v=\int dx=x

Assim:

u=arcsen(x)

du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}

Aplicando à fórmula da integração por partes:

\int arcsen(x) dx=x \cdot arcsen(x)-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx

agora consideremos o seguinte:

z=1-x^2

dz=-2xdx

dx=-\frac{dz}{2x}

logo:

\int arcsen(x) dx=x \cdot arcsen(x)-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \left(-\frac{dz}{2x} \right)

\int arcsen(x) dx=x \cdot arcsen(x)+\frac{1}{2}\cdot\int \frac{1}{\sqrt{z}} dz

\int arcsen(x) dx=x \cdot arcsen(x)+\sqrt{z}

Portanto:

\int arcsen(x) dx=x \cdot arcsen(x)+\sqrt{1-x^2} + C

Sendo C a nossa tradicional constante de antidiferenciação.

Exemplo 3 - Caso do arccosseno[editar]

Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arccosseno:

\int arccos(x) dx

Separamos