Atps cálculo 2 Anhanguera

Estudo de Derivadas

Neste trabalho a estudaremos os conceitos de velocidade instantânea e aceleração instantânea, estaremos aplicando a derivada nas equações do espaço e da velocidade e mostraremos como a matemática está ligada a física, musica a nosso dia a dia nas diversas área através das serie harmônicas ,estudaremos também a teoria de Euler-Mascheroni.

Etapa 1

Passo 1

Velocidade instantânea: ao trafegar em uma estrada você pode observar no velocímetro do carro que a velocidade indicada varia no decorrer do tempo. Esta velocidade que você lê no velocímetro em um determinado instante é denominada velocidade instantânea. Para determinar esta velocidade tem-se que calcular o limite de (S/t), parat tendendo a zero; Já observamos que o conceito de velocidade média está associado a dois instantes de tempo. Por exemplo, t1 e t2. E escrevemos v (t1,t2) para o módulo dessa velocidade média.

Por outro lado, concluímos que o módulo da velocidade média entre esses instantes de tempo pode ser obtido a partir do segmento de reta secante ao gráfico da posição em função do tempo. Esse segmento de reta deve ligar os pontos A e B do gráfico, pontos estes que correspondem aos instantes de tempo t1 e t2.

Função

Velocidade no tempo 1s

Dt

Aceleração no tempo 5s

d.t d.t

Passo 2

Cálculos utilizados para montagem da tabela e gráfico:

Espaço:

Velocidade:

Derivando a fórmula do espaço temos:

∆S (m)

Velocidade (m/s)

Aceleração (m/s²)

Tempo (s)

0

0

0

0

22

44

44

1

88

88

44

2

198

132

44

3

352

176

44

4

550

220

44

5

Cálculo da area formada pela função da velocidade, para os intervalos dados acima:

Passo 3

Definição de aceleração em relação a velocidade:

Todos sabemos que para calcular a velocidade média a que um carro viaja entre duas povoações: Basta dividir a distância entre estas pelo tempo que demoramos a fazer o percurso. Em geral estamos interessados em conhecer a velocidade em cada ponto do trajeto (velocidade instantânea), pois o conhecimento da velocidade média é insuficiente para descrever o movimento de um objeto.

Para calcularmos a velocidade (instantânea) precisamos conhecer a posição y do objeto em cada instante x, e precisamos conhecer a função y = f(x). Munidos deste conhecimento, a velocidade em cada instante x é o valor para o qual se aproxima a velocidade média entre os instantes x e x + Δx (i.e. Δf/Δx ), quando o intervalo de tempo Δx se aproxima de 0, ou seja o limite do quociente anterior. A este tipo de limites chamamos derivada. No caso geral em que a variável y não é necessariamente a posição e a variável x não é necessariamente o tempo, chamamos derivada de f no ponto x à velocidade no ponto x, ou seja o declive da reta tangente.

Resumidamente, a aceleração nada mais é do que a velocidade a que a velocidade varia em ordem ao tempo, ou seja, a aceleração é a derivada da velocidade em ordem ao tempo.

Definição de aceleração em relação ao espaço:

A equação horária da velocidade de um móvel em movimento uniformemente variado é a expressão matemática que nos permite determinar a velocidade do móvel em qualquer instante de tempo. Sempre que derivamos uma função de grau n (paran≥1), obtemos outra função de grau n – 1. A equação horária da velocidade é a derivada da equação horária do espaço (da abscissa). Ora, se a primeira é do 1º grau em t, esta outra será do 2º grau em t. Assim, vamos representá-la por:

s=A+B.t+C. t2

com A,B,C constantes e C ≠0

Vamos determinar os significados físicos de cada parâmetro A, B, C. Fazendo-se t = 0, teremos S = S0 e S = A. Logo:

A=s0

Derivando a equação proposta:

E identificando termo a termo com a equação:

V=V0+a . t

Podemos concluir que:

B=v0

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