CÁLCULO DO VOLUME DE UM CONE POR INTEGRAÇÃO

CÁLCULO DO VOLUME DE UM CONE POR INTEGRAÇÃO

Data 02/03/2012

 Nome: Alex de Paula Conforto          RA 201212283  e-mail: [e-mail]

 Nome: Alexandre Maia de Meneses   RA 201102679  e-mail: [e-mail]

 Nome: Clemerson Oliveira Rocha      RA 201205766  e-mail: [e-mail]

 Nome: Claudio Trancoso Rodrigues   RA 201212605  e-mail: [e-mail]

 Nome: Danilo Bezerra Silva               RA 201108710  e-mail: [e-mail]

 Nome: Fábio Rafael da Silva Lima     RA 201200074  e-mail: [e-mail]

 Nome: Rafael Pires dos Santos           RA 201206521  e-mail: [e-mail]

Introdução à Engenharia – IEMEC – Engenharia Mecânica

Turma: 1°CEMN

Universidade São Judas Tadeu

Resumo

        Este artigo tem como objetivo demonstrar a aplicação prática do conceito de integrais para cálculos de volumes de sólidos, cujo perfil é obtido por curvas de funções rotacionadas em torno do eixo das abscissas no plano cartesiano e dentro de um determinado intervalo. O mesmo aqui descreve como aplicar tal conceito para determinar todas as dimensões para recorte e posterior dobra de uma chapa de papel em forma de cone tendo conhecidas inicialmente apenas a medida de sua altura. A partir daí, deseja-se construir o cone de forma que quando a chapa for dobrada o mesmo deverá comportar um determinado volume de água em seu interior.

Abstract

        This article has as main objective show the practical application of the concept of Integrals for calculation of volume of solids whose profile is obtained by curves of functions rotated around the abscissa axis from the Cartesian coordinate system and within a certain interval. This same here describes how to apply such concept to determine every measurement of cut and subsequent folding of a sheet of paper in form of a cone where is known initially only its height measurement. From there it is desired to build the cone in the way that when the sheet is folded it has to hold a certain volume of water in its interior.

Palavras chave: Integral; Cone; Volume.

Introdução

        

        O conceito de Calculo Integral também chamado de antiderivada possibilita o calculo exato da área de figuras planas, volume de sólidos de revolução bem como a área de sua superfície lateral e não importa o quão complexo seja a forma da figura ou do sólido.

        Historicamente a ideia principal do calculo por integração que em sua palavra significa somar, data de muitos anos antes de Cristo, onde os antigos matemáticos como Eudoxo, Arquimedes e Antifon procuravam resolver os problemas de sua época com relação ao calculo da área de superfícies. Os mesmos até então utilizam o método da quadratura, método este que possibilitava achar a área de superfícies planas relacionando-as com a área do quadrado.

        Contudo este método não era eficaz quando se desejava calcular a área de figuras curvas, como o circulo por exemplo. Tal problema só foi possível resolver com o método de inscrever polígonos no circulo e assim achar a área aproximada do circulo, e quanto mais lados tivesse o polígono mais próximo da medida real era o valor obtido, tal processo foi chamado de “Método da Exaustão”.

        O atual método para o calculo de áreas com formas complexas é um aperfeiçoamento do método da exaustão, o responsável foi o matemático George Friedrick Riemann.         Seu método baseia-se em calcular a área sob a curva de uma função plotada no plano cartesiano e inscrevendo retângulos na mesma. À medida que o aumenta-se o número de retângulos, mais próximo do valor exato é o calculo, sendo assim se o número de triângulos tende ao infinito o valor da área tende ao valor exato.

[pic 1][pic 2]

Fig. 1

        [pic 3]                         

        Para o cálculo do volume de um sólido o principio é o mesmo, porém ao invés de retângulos utilizam-se cilindros com eixo de revolução em “x”, este é o método dos discos para o calculo do volume de sólidos de revolução. Portanto tem-se que o raio desses cilindros pode ser f(x) e a altura igual a Δx.

[pic 4]

[pic 5][pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Fig. 2

Sabe-se que o volume de um cilindro é calculado por:

[pic 9]                       

        Sendo assim pode-se calcular o volume desses discos rotacionando a função que determina o perfil do sólido de revolução e fazendo Δx tender para o infinito que é quando sem tem o valor preciso do volume do sólido.

[pic 10]       

Procedimento experimental

        Para o experimento de construção do cone primeiramente teve-se como informações iniciais o valor de sua altura (h) e o volume (V) que o mesmo pode comportar.

Altura (h) = 60mm

Volume (V) = 250mL

[pic 11]

                 [pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

Fig. 3

O coeficiente de inclinação da reta é:

[pic 17] 

A função da reta é obtida por:

[pic 18]

        [pic 19] 

        

Conforme o modelo para calculo de volume de um sólido descrito em (3) tem-se: