Cálculo III

INTRODUÇÃO

A derivada de uma função pode ser descrita como o conceito central do cálculo diferencial, utilizada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Tendo em conta isto, a integral é a função inversa da derivada. Sendo assim a integral é uma ferramenta matemática que permite o cálculo de áreas.

De certa forma a integral é a solução prática para problemas encontrados por matemáticos e físicos a tempos.

Contudo, a forma de resolução da integração vem sofrendo mutações para que esta seja feita da forma fácil e clara, surgindo, assim, as regras da integrada.

No entanto será analisado e encontrado por meio deste a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros da Petrofuels, que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém-descoberto, do qual serão utilizados os vários conceitos de integral: definida e indefinida, integração por substituição e integração por partes e cálculo de área.

1 – História da Integral

As contribuições dos matemáticos para o desenvolvimento e compreensão da natureza através de cálculos e representações são inúmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou não rigorosa, já utilizavam para resolver vários problemas. Naquele tempo ainda não havia uma sistematização, no sentido de uma construção logicamente estruturada. A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do cálculo: as Derivadas e as Integrais.

1.1 – Matemáticos

O cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver um problema de quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional, cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, que também consiste de pelo menos uma curva. O uso do termo significa que existe um problema complicado e que foi simplificado de várias maneiras e agora o problema pode ser resolvido avaliando uma integral.

        Historicamente, quem executou as primeiras quadraturas quando encontrou a área de certas lunas foi Hipócrates de Chios (440 a.C.). Antiphon (430 a.C.) alegou que poderia encontrar a área de um círculo colocando vários quadrados dentro dele. Seu problema era encontrar os espaços que ficavam do circulo, pois sempre se chega ao resultado aproximado da área da curvatura e isso ocasionava no problema de que nunca poderia ser terminada. Ele teria que ter usado o conceito moderno de limite para finalizar seu processo com precisão. Mais de 2000 anos depois, Eudoxo (370 a.C.) iniciou o desenvolvimento do método de exaustão, ou seja, uma técnica de aproximação da área de uma região com um número crescente de polígonos, melhorando a cada etapa, e a área exata sendo obtida depois de um número infinito destas etapas. Arquimedes (287--212 a.C.), usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da parábola. Arquimedes aproximou a área com um número grande de triângulos construídos.

Por fim foram feitas descobertas no século XVll, abrindo novas oportunidades e inovações, resolvendo problemas muito antigos que até o momento não haviam sido solucionados.  Muitos matemáticos contribuíram, como John Wallis, Isaac Barrow, James Gregory, Leibniz e Isaac Newton que juntaram todas as informações para construir o cálculo.

1.2 – Integral Definida

Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo: onde: a é o limite inferior de integração. 

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1.3 – Integral Indefinida

Sabemos que a derivada é um dos conceitos mais importantes do Cálculo. Outro conceito também muito importante é o de Integral. Existe uma estreita relação entre estas duas ideias.

Se a função F(x) é primitiva da função f(x), a expressão F(x)+C é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por

Por fim após todo esse processor inúmeros modos e regras foram criados e aplicados de forma mais precisa e detalhada, contribuindo e fazendo com que seja aplicada em cada caso necessário.

[pic 2]

2 – Desafios Propostos

Nesse passo iremos resolver situações através do cálculo da integral, buscando utilizar o conhecimento adquirido.

2.1 – Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ?[pic 3]

Resposta:

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[pic 5]

A alternativa correta é a “B”.

        

2.2 – Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q)=1000+50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0)=10.000 a alternativa que expressa (C)q , o custo total para se perfurar q pés, é: