Capacitar o aluno ao uso dos conceitos e aplicações de como representar qualquer função periódica pela sobreposição harmônicas

OBJETIVOS

OBJETIVO REAL

Capacitar o aluno ao uso dos conceitos e aplicações de como representar qualquer função periódica pela sobreposição harmônicas. A representação de sinais como uma soma (ou melhor dizendo, uma combinação linear) de sinais básicos como senos e cossenos, ou exponenciais complexas.

OBJETIVO ESPECÍFICO

Estudar uma das aplicações de Fourier em uma de várias séries imortalizadas para quem precisa descrever uma função mais ou menos complicada de forma simples de visualizar e manipular que até hoje deslumbram os matemáticos, físicos, estatísticos e engenheiros.

DESENVOLVIMENTO

A Série Fourier foi desenvolvida em 1822 por Jean Baptiste Joseph Fourier, que acreditava ser possível através da soma de funções seno e cosseno, representar os mais diferentes tipos de funções.

Todo corpo discente conhece as funções trigonométricas, seno, cosseno, tangente etc. A função periódica é uma forma que se repete a cada período. No caso figura abaixo, a função seno se repete a cada período de 2 . O valor máximo da função, chamado de amplitude, é 1.

A função cosseno também é periódica, com o mesmo período e amplitude que o seno, mas é deslocada de /2 em relação ao seno. Isso é fácil de constatar examinando o gráfico abaixo. Tecnicamente, diz-se que as funções seno e cosseno diferem na fase e a diferença de fase entre elas é de /2.

Uma função periódica pode ser bem mais complicada que uma senóide. Veja o exemplo da função f(x) mostrada na figura abaixo. Essa curva também é periódica mas, não é apenas um seno ou um cosseno.

Matematicamente, a decomposição da função f(x) na curva acima é a seguinte:

Em resumo, qualquer função f(x) pode, segundo Fourier, ser escrita na forma da soma de uma série de funçoes seno e cosseno da seguinte forma geral:

ou seja:

Os pontinhos nessa equação indicam que os termos tipo seno e cosseno podem se extender indefinidamente, se necessário, para melhor representação da função original f(x). Para obtermos o valor aK basta multiplicarmos a soma de funções senos e cossenos por (coskxdx) e integrarmos de - a .

Para obter o valor de bk basta fazer a multiplicação da soma de senos e cossenos por senkx dx e posterior integração de - a .

Assim, concluímos que a série de Fourier de uma função f(x) definida de - a é dada por:

CONCLUSÃO

Com