Cederj Questão De Ad1

1. Calcule quantos múltiplos de 3, de 4 algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9 (Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um número divisível por 3).

Solução. Precisamos selecionar quatro algarismos cuja soma seja múltiplo de 3:

- soma 21: {2,4,6,9}: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 números distintos.

- soma 18: {2,3,4,9}: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 números distintos.

- soma 15: {2,3,4,6): 4 x 3 x 2 x 1 = 24 números distintos.

Logo, há no total 24 + 24 + 24 = 72 números possíveis.

2. Seis times de futebol, entre os quais estão A e B, vão disputar um campeonato. Suponha que na classificação final não existam empates. Um indivíduo fez duas apostas sobre a classificação final. Na primeira, apostou que A não seria campeão; na segunda, apostou que B não seria o último colocado. Em quantas das 720 classificações possíveis esse indivíduo ganha as duas apostas?

Solução. Para que ganhe as duas apostas, as duas situações devem ocorrer. Uma forma de pensar é calcular as situações ocorrendo e subtrair do total. Isto é trabalhamos com o complementar:

i) A é campeão: fixamos A na 1º colocação: A _ _ _ _ _ Há 5! = 120 possibilidades para o restante. Repare que B pode em alguma delas ocupar a última posição.

ii) B é o último: fixamos B na 6ª colocação: _ _ _ _ _ B Há também 5! = 120 possibilidades. Repare que A pode ocupar a 1º posição em algumas das possibilidades.

iii) A campeão e B o último: A _ _ _ _ B Há 4! = 24 possibilidades. Essa situação é a interseção dos dois casos anteriores.

Logo, o número de possibilidades de ganha na aposta é: 720 – (120 + 120 – 24) = 720 – 216 = 504 possibilidades.

3. Dos 33 alunos da M37, seis serão escolhidos para participar de um debate em uma mesa circular. Antônio, Felipe, Camila e Milena só irão se forem juntos; de tal forma que Camila e Milena vão sentar lado a lado e o Antônio e o Felipe nunca irão sentar lado a lado à mesa. De quantas maneiras distintas podem se sentar?

Solução. O número de permutações de n em uma roda é dado por (n – 1)! chamada PERMUTAÇÃO CIRCULAR (PC). Podemos formar a mesa das seguintes formas:

i) Seis alunos em que não constem os quatro alunos citados. Logo escolhemos 6 de 29 e permutamos circularmente esses alunos: .

ii) Seis alunos com os quatro alunos citados. Logo, serão escolhidos mais dois dentre os 29 restantes. Há formas de fazê-lo. Uma vez escolhidos temos as exigências.

- Como Camila e Milena estão sempre juntas, funcionam como uma pessoa só, podendo trocar entre si de posição. Logo há casos.

- Antônio e Felipe não podem ficar juntos. Então o número de casos será o número total menos o número em que ficam juntos. Além das duas amigas, temos os dois juntos.

Logo seriam (os fatoriais são Camila-Milena e troca; Antonio-Felipe e troca). O número de casos onde os meninos não estão juntos é: .

Juntando todos os casos, temos: .

4. Usando-se os algarismos 1,3,5,7 e 9, existem x números de 4 algarismos de modo que pelo menos 2 algarismos sejam iguais. Determine o valor de x.

Solução. O oposto de ter pelo menos dois números iguais é ter todos diferentes. Logo, o número de casos pedidos será: Nº total – Nº (4 algarismos distintos).

i) Total de números de quatro algarismos: 5 x 5 x 5 x 5 = 625 números.

ii) Total de números de quatro algarismos distintos: 5 x 4 x 3 x 2 = 120 números.

Logo há 625 – 120 = 505 números de quatro algarismos com pelo menos dois algarismos iguais.

5. Entre os 20 professores de uma escola, devem ser escolhidos três para os cargos de diretor, vice-diretor e orientador pedagógico. De quantas maneiras a escolha pode ser feita?

Solução. Escolhendo um professor para cada cargo, temos: 20 x 19 x 18 = 6840 casos possíveis.

6. Uma sala tem seis lâmpadas com interruptores independentes. De quantos modos pode-se ilumina-la, se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa?

Solução 1. Como a lâmpada pode ficar acesa ou apagada, cada uma tem duas condições. Há um total de 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26 = 64 casos. Mas como um sempre deve ficar acesa, temos que excluir o caso todas apagadas. Logo, há 64 – 1 = 63 modos.

Solução 2. Essa supõe uma combinação de resultados onde podemos ter:

i) 1 acesa e 5 apagadas: .

ii) 2 acesas e 4 apagadas: .

iii) 3 acesas e 3 apagadas: .

iv) 4 acesas e 2 apagadas: .

v) 5 acesas e 1 apagadas: .

vi) 6 acesas e 0 apagadas: .

Total: 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63 possibilidades.

7. Determine a quantidade de números de três algarismos que tem pelo menos dois algarismos repetidos.

Solução. Total de números de 3 algarismos: 9 x 10 x 10 = 900.

Total de números de 3 algarismos distintos: 9 x 9 x 8 = 648.

Total de números de 3 algarismos com pelo menos dois repetidos: 900 – 648 = 252.

8. Uma bandeira é formada de 7 listras que devem ser formadas de 3 cores diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pinta-la de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor?

Solução. Considerando as 7 listras, a partir da 1ª temos:

i) 1ª listra pode ser com qualquer das 3 cores.

ii) 2ª listra será pintada com 2 cores possíveis, diferente da 1ª listra.

ii) 3ª listra também terá duas cores possíveis, pois a 1ª cor já poderá ser reutilizada.

Este procedimento