Centro de massa

6.1- Centro de massa

As forças infinitesimais, resultantes da atracção da terra, dos elementos infinitesimais P1, P2, P3, etc., são dirigidas para o centro da terra, mas por simplificação são sempre consideradas paralelas.

Para se obter a localização do ponto G, centróide, utiliza-se o teorema de Varignon.

(“o momento em relação a um ponto O da resultante de várias forças concorrentes é igual à soma dos momentos das diversas forças em relação ao mesmo ponto O”).

Os momentos de P relativamente aos eixos “y”, “x”, são iguais às somas dos momentos de cada força infinitesimal, relativamente aos respectivos eixos.

No limite em que o número de elementos tende para infinito, ou seja a dimensão de cada elemento é muito pequena, a força total será dada por:

No caso de corpos lineares, (arames), será de realçar o facto de eventualmente o centro de massa não se situar sobre o corpo.

6.2- Centróide – centro geométrico

No caso de um corpo homogéneo com características geométricas constantes, nomeadamente uma placa com espessura constante, tem-se que:

com  a massa especifica do corpo, e a espessura e A a área infinitesimal.

Somando todos os elementos infinitesimais temos:

substituindo a expressão em a) e b);

Válidas apenas para corpos com massa específica constante e espessura constante

Se a placa for constituída por dois diferentes materiais, então o centróide pode não coincidir com o centro de massa.

Para o caso de arames homogéneos de secção transversal uniforme, pode-se escrever;

em “a” é a área da secção e L comprimento o elemento

6.3- Momentos de primeira ordem (momentos estáticos) de superfícies e curvas

O integral é conhecido pelo momento de primeira ordem da superfície em relação ao eixo “y”, e em relação ao eixo “x”.

Estes parâmetros geométricos serão considerados para o cálculo de tensões de corte em vigas (resistência do materiais).

6.4- Simetria material

Ponto, eixo ou plano, que é de simetria geométrica e cujos partes geometricamente simétricas têm massas específicas iguais.

6.5- Simetria geométrica

Existe simetria geométrica sse a um ponto P corresponde um ponto P’ tal que o segmento PP´seja ortogonal ao elemento “espelho”.

Desta forma:

- um corpo que possua simetria geométrica terá o centróide no elemento espelho.

- Um corpo que possua simetria material terá o centro de massa no elemento espelho.

6.6- Corpos compostos

Tendo um corpo complexo, é possível decompor o mesmo num conjunto de corpos mais simples em que seja conhecida a localização do centróide e/ou centro de massa.

Pela aplicação do teorema de Varignon e decompondo um meio contínuo em vários:

Exemplo:

Determinar a posição do centro de massa deste corpo, sabendo que:- a aba vertical é uma chapa metálica com massa específica de 25(kg/m^2), enquanto que o material da base possui uma massa específica de 40 (kg/m^2). O veio de comprimento 150 (mm), possui uma massa específica de 7,83 (g/cm^3).

Solução:

Considerar corpo composto por 5 componentes:

1- placa semi-circular, 2- placa vertical, 3- placa triangular a retirar, 4- placa horizontal, 5- veio circular.

Por definição de centro de massa,

Então, para cada corpo deve ser calculado:

Corpo

Massa xi(m) yi(m) zi(m) Pi (N)

1 25(Kg/m^2) 0,0982 0 0 0,021 0,963

2 25(Kg/m^2) 0,562 0 0 -0,075 5,518

3 25(Kg/m^2) -0,0938 0 0 -0,100 -0,920

4 40(Kg/m^2) 0,6 0 0,05 -0,150 5,886

5 7,8(g/cm^3) 1,48 0 0,075 0 14,48

P total= 25,93

Por existir simetria material, XG=0

YG=0,053 (m)

ZG=-0,046 (m)

Cálculo auxiliar - centróide do semi-circulo

6.7- Momentos de inércia ou momentos de 2ª ordem

Caracteriza ou quantifica a resistência dos elementos estruturais.

Âmbito: Mecânica dos materiais (Flexão de vigas,etc.)

O momento de inércia é dado por;

6.8- Momento polar de Inércia

Âmbito: Mecânica dos materiais (Torção de veios,etc.)

O momento polar de inércia é obtido por;

6.9- Cálculo dos momentos de inércia