Conicas

CÔNICAS

ELIPSE

Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1e F2, e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2,chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2< 2a, temos:

A figura obtida é uma elipse.

Observações:

1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória.

A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.

2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.

3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.

Elementos

Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:

• focos : os pontos F1 e F2

• centro: o ponto O, que é o ponto médio de

• semi-eixo maior: a

• semi-eixo menor: b

• semidistância focal: c

• vértices: os pontos A1, A2, B1, B2

• eixo maior:

• eixo menor:

• distância focal:

Relação fundamental

Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2, retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:

a2 =b2 + c2

Excentricidade

Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1.

Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.

Equações

Vamos considerar os seguintes casos:

a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal

Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):

Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:

b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical

Nessas condições, a equação da elipse é:

HIPÉRBOLE

Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 ,e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2, chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:

A figura obtida é uma hipérbole.

Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:

Elementos

Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

•focos: os pontos F1e F2

•vértices: os pontos A1 e A2

•centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de

•semi-eixo real: a

•semi-eixo imaginário: b

•semidistância focal: c

•distância focal:

•eixo real:

•eixo imaginário:

Excentricidade

Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

Como c > a, temos e > 1.

Equações

Vamos considerar os seguintes casos:

a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox

F1 (-c, 0)

F2( c, 0)

Aplicando a definição de hipérbole:

Obtemos a equação da hipérbole:

b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy

Nessas condições, a equação da hipérbole é:

Hipérbole eqüilátera

Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais:

a = b

Assíntotas da hipérbole

Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.

Quando