Convergência do Método das Aproximações Sucessivas

2.3.2.1 Convergência do Método das Aproximações Sucessivas

Teorema 2 Seja a um zero de uma função f, isolada em um intervalo I=[a,b], e seja f

uma função tal que f(a) = a . Se:

i) f e f' são funções contínuas em I;

ii) = f ( ) <1

Î

k x

x I

max '

iii) x0 ÎI e xn+1 = f(xn )ÎI , para n = 0, 1, 2, ¼

Então a seqüência { } xn converge para o zero a .

OBS. 8: Para se resolver um problema com o método das aproximações sucessivas,

utiliza-se o teorema anterior da seguinte forma: inicialmente determina-se um intervalo I

onde o zero a de f (x) esteja isolado, e uma função f que tenha a como ponto fixo.

Analisando f e f' , pode-se verificar se as condições i) e ii) do Teorema 2 estão satisfeitas.

Estas condições podem não estar satisfeitas pelo fato do intervalo I ter sido

superdimensionado. Neste caso procura-se por um intervalo I ’ satisfazendo as condições do

teorema. Na demonstração do Teorema 2 , que pode ser vista em HUMES, Ana Flora C., et

al. Noções de Cálculo Numérico. São Paulo: McGraw-Hill, p. 16, 1984, tem-se que as

condições i) e ii) garantem que se xn-1 Î I então a - xn < a - xn-1 . Entretanto, isto não

implica que xn Î I . Uma maneira simples para garantir que xn ÎI = [a, b] "n ³ 0é tomar

como valor inicial x0 o extremo de I mais próximo do zero a. Na seqüência, será mostrado

que neste caso x1 = f(x0 )ÎI : Supondo que a seja o extremo de I mais próximo de a, temse:

x1 - a < x0 - a = a - a £ b - a , logo x1Î I . A demonstração é análoga para o caso em

que b o extremo de I mais próximo de a.

OBS. 9: A condição iii) do Teorema 2 pode ser substituída por: iii’) o zero a é o ponto

médio do intervalo I . Na verdade, se para o intervalo I = [a,b], estão satisfeitas as condições

Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais

Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES

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i) e ii) do Teorema 2, e se a estiver mais próximo de a do que de b então, denotando a - a

por r, tem-se que para qualquer x0 Î [a,a + r] a hipótese iii) do teorema é verificada. Mais

ainda, para todo I =[a,b] nas condições do teorema 2, existe I ’Ì I tal que qualquer que seja

x0 Î I ’ tem-se que xn Î I ’,