Curvas e Funções Vetoriais

CURVAS

CURVAS PLANAS

Uma CURVA PLANA é um conjunto C de pares ordenados (f (t), g (t)), em que f e g são funções contínuas em um intervalo I = [a, b].

O GRÁFICO de C consiste em todos os pontos P (t) = (f (t), g (t)) do plano xy, para t ∈ I. Dizemos que o ponto P (t) “traça” ou “percorre” a curva C quando t varia de a até b (em I). A curva, portanto, recebe uma ORIENTAÇÃO, sendo P (a) seu ponto inicial e P (b) seu ponto final.

Exemplo 1: Faça o gráfico da curva C = { P (t) = ( 2t, t2 – 1) | t ∈ [–1, 2]}.

Solução: Para localizar os pontos da curva, vamos fazer uma tabela com alguns valores de t e os correspondentes valores para x e y:

t	x	y
-1	-2	0
-1/2	-1	-3/4
0	0	-1
1/2	1	-3/4
1	2	0
3/2	3	5/4
2	4	3

Com esses valores temos uma aproximação da curva C:

[pic 1]

[pic 2]

EQUAÇÕES DE UMA CURVA

Se P (t) = (f (t), g (t)), com t ∈ [a, b],  são pontos de uma curva C então P é uma função que associa, a cada número real t de [a, b], um par ordenado (ou vetor) (f (t), g (t)). Assim, podemos escrever p como uma FUNÇÃO VETORIAL

P: [a, b] ⊂ IR → IR2

               t      [pic 3](f (t), g (t))

Dizemos que P (t) (ou [pic 4](t)) é a EQUAÇÃO VETORIAL de C.

As EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS de C são dadas por:

C: [pic 5],   onde t é chamado parâmetro da curva.

Quando é possível eliminar o parâmetro, resolvendo as equações paramétricas para t, obtemos a EQUAÇÃO CARTESIANA de C, na forma F (x, y) = K, onde K é uma constante.

Exemplo 2: Para obter o gráfico da curva C do exemplo 1, podemos encontrar a equação cartesiana de C, passando para as suas equações paramétricas C:[pic 6],  isolando t na primeira equação e substituindo na segunda:

y = (x/2)2 – 1

Nesta forma, reconhecemos a curva C como parte de uma parábola, que tem projeção igual ao segmento [–2, 4] no eixo x.

[pic 7]

[pic 8]

Dada uma curva C por sua equação cartesiana, é possível obter uma infinidade de equações paramétricas (e, conseqüentemente, equações vetoriais) para ela. Cada equação paramétrica determina uma forma diferente de “percorrer” C, variando a velocidade ou o sentido do percurso.

Exemplo 3: Podemos dar outras equações paramétricas para a curva C do exemplo 1, a saber:

C1:[pic 9],  onde a orientação é mantida e mudada a velocidade, em relação a C;

C2:[pic 10],  onde a velocidade fica a mesma de C1, mas com orientação contrária;

Etc...

Exemplo 4: Determine a equação cartesiana e faça o gráfico da curva C abaixo, dando sua orientação.

C:[pic 11],  

Solução: Para eliminar o parâmetro, vamos elevar ao quadrado as duas equações e somá-las, obtendo x2 + y2 = 4 cos2t + 4 sen2t = 4 (cos2t + sen2t) = 4. Assim, verificamos que C é uma circunferência de raio 2 e centro na origem.

[pic 12]

[pic 13]

Se procurarmos os pontos de C correspondentes a três valores de t, por exemplo,    t = 0, t = π/2 e t = π, concluímos que a curva é orientada no sentido anti-horário.

Exemplo 5: Faça o gráfico e dê outras equações paramétricas da curva C;[pic 14]

Solução: Eliminando os parâmetros, obtemos a equação cartesiana y = 2x + 5, identificando a curva como uma reta. Porém, mesmo o parâmetro estando livre para assumir qualquer valor real, C não corresponde a toda reta, pois x > –2 e y > 1, pois t2 > 0 sempre. Portanto C é a semi-reta superior a partir do ponto (–2, 1).

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Outra parametrização para C pode ser:

[pic 18]

Uma curva C é dita SUAVE se admite uma parametrização x = f (t), y = g (t), em um intervalo I, tal que as derivadas f ‘ e g‘ sejam contínuas e não simultaneamente nulas no interior de I. C é PARCIALMENTE SUAVE em I se I pode ser subdividido em intervalos fechados onde C é suave.

Exemplo 6:   Determine se C é suave, sendo C: [pic 19]

Solução: Como x’ = 2t e y’ = 3t2, as derivadas de x e de y são contínuas, pois são polinomiais. Além disso, x’ = 0 e y’ = 0 somente quando t = 0. Assim, a curva é parcialmente suave, pois é suave nos intervalos [-1, 0] e [0, 1], subdivisões do intervalo [-1, 1].