Curvas simples fechadas e integradas

Agora chegamos a mais um teorema da fam´ılia do Teorema Fundamental

do C´alculo, mas dessa vez envolvendo integral de linha de campo vetorial

e integral dupla de uma certa quantidade que j´a apareceu em nosso estudo

sobre campos conservativos. O Teorema de Green tem uma id´eia essencial e

alguns detalhes t´ecnicos. Vamos tentar trat´a-los, mas enfatizando o essencial.

10.1 Curvas Simples Fechadas e Integral de

Circula¸c˜ao

Uma curva

: [a, b] ! Rn ´e dita fechada se

(a) =

(b); ´e dita simples se,

para todo t1, t2 2 (a, b),

(t1) 6=

(t2), ou seja, com a poss´ıvel exce¸c˜ao das

extremidades, uma curva simples n˜ao tem auto-intersec¸c˜ao.

´E

um resultado intuitivo (mas n˜ao ´obvio) que toda curva simples fechada

no plano ´e a fronteira de uma regi˜ao. Algumas vezes essa regi˜ao ´e chamada

“o interior da curva

,” mas uma nomenclatura mais precisa ´e “a regi˜ao

limitada por

.” Fa¸ca alguns desenhos para se convencer.

Por conven¸c˜ao, uma curva simples fechada ser´a dita positivamente orientada

se for percorrida no sentido anti-hor´ario. Tal conven¸c˜ao ´e muito simples

de adotar para exemplos simples, como uma circunferˆencia, mas uma curva

simples fechada pode n˜ao ser t˜ao simples assim. Mas sempre ´e poss´ıvel

parametriz´a-la de modo que “a volta” que ´e feita em torno de cada ponto do

interior de

´e percorrida no sentido anti-hor´ario.

Como nossa preocupa¸c˜ao ´e calcular integrais ao longo destas curvas, precisaremos

de curvas diferenci´aveis (para podermos calcular seu vetor velocidade).

Mas permitimos que em alguns pontos este vetor esteja duplamente

definido (pois estes exemplos aparecem comumente, como ´e o caso dos

pol´ıgonos). Uma curva

(a, b) ! Rn ´e diferenci´avel por peda¸cos, ou ainda

seccionalmente diferenci´avel se o intervalo [a, b] pode ser particionado em

subintervalos Ii tais que a restri¸c˜ao de

a cada Ii ´e diferenci´avel.

1

Se

´e uma curva simples fechada, seccionalmente diferenci´avel, e ~F ´e um

campo Z vetorial definido ao longo de

, podemos calcular sua integral de linha

~F · d~r. Esta integral ganha o nome de circula¸c˜ao do campo ~F na curva

(vocˆe vˆe uma raz˜ao clara para este nome?) e por vezes ganha a nota¸c˜ao

especial I

~F · d~r.

10.2 Circula¸c˜ao Infinitesimal

Vamos agora considerar um caso especial, que ´e a essˆencia do Teorema de

Green. Para isso considere ~F um campo diferenci´avel em R2 e a curva simples

fechada

ser´a uma parametriza¸c˜ao do retˆangulo com v´ertices (x, y),

(x +
x, y), (x +
x, y +
y) e (x, y +
y), percorridos nesta ordem (fa¸ca

o desenho). Vamos calcular a circula¸c˜ao de ~F em

, considerando que
x e

y s˜ao pequenos1. Para isso, notamos que

´e a uni˜ao de quatro segmentos

de reta, que chamaremos

1,

2,

3 e

4. Das propriedades de integra¸c˜ao,

segue que

I

~F · d~r =

Z

1

~F · d~r +

Z

2

~F · d~r +

Z

3

~F · d~r +

Z

4

~F · d~r. (10.1)

Para calcular a primeira, usamos a parametri¸c˜ao

1 : [0, 1] ! R2

t 7! (x + t
x, y)

e assim

01 = (1, 0)
x e ~T = (1, 0). Considerando ent˜ao que
x ´e pequeno

e, portanto,
x2 
x, teremos

Z

1

~F · d~r =

Z 1

0

~F (x + t
x, y) · (1, 0)
x dt  Fx (x, y)
x. (10.2a)

A mesma id´eia ser´a usada para calcular

R

2

~F ·d~r. Agora parametrizamos

2 : [0, 1] ! R2

t 7! (x +
x, y