CÁLCULO DA ÁREA APROXIMADA DO MUSEU DE ARTE MODERNA DE NITERÓI POR INTEGRAL DE SUPERFÍCIE

CÁLCULO DA ÁREA APROXIMADA DO MUSEU DE ARTE MODERNA DE NITERÓI POR INTEGRAL DE SUPERFÍCIE

TOLEDO

2016

Sumário

1.Introdução        4

2.Desenvolvimento        4

3. Apresentação de caso prático        5

4. Conclusão        7

5. Bibliografia        7

 1.Introdução

Com auxílio das integrais de superfície se faz possível o cálculo da área de uma superfície que tenha uma região para integração definida por uma equação. Em um cone, por exemplo, a região pode ser formada por dois círculos de raios diferentes, estes seriam a “sombra” que a superfície forma em algum dos planos (X, Y ou Z).

No universo da engenharia civil existem diversas superfícies de formas que não são as formas geométricas que conhecemos, porém se assemelham muito às formas que estudamos em sala de aula. Em uma das aulas ministradas pela professora Dione o grupo notou a semelhança de um dos exercícios resolvidos em sala com uma obra icônica do arquiteto Oscar Niemeyer, o museu de arte contemporânea de Niterói no Rio de Janeiro.

Como se trata de uma obra muito importante para a história da arquitetura nacional e por conseqüência da engenharia civil, esta foi escolhida para que por meio dos cálculos de integrais de superfície possamos determinar a área estimada da superfície do museu, e assim por fim fazer uma comparação com a área real.

2.Desenvolvimento

Primeiramente se az necessário definirmos o que é uma integral de superfície. Basicamente uma integral de superfície é integral uma função f(x,y,z) em uma superfície paramétrica lisa σ. Considerando o problema de encontrar a massa de uma lâmina curva onde conhece-se a função densidade. Uma lâmina curva pode parecer-se com uma chapa curva ou englobar uma região. (ANTON,2007)

[pic 1]

Imagem 1: lâmina curva. Fonte: ANTON, Howard. P.1147

Para calcular a massa da lâmina procede-se primeiramente dividindo σ em n pequenas porções, e cada uma tem sua respectiva área, se considerarmos Xn, Yn e Zn pontos da enésima porção e ΔMn a massa dessa pequena porção a massa da lâmina é aproximada pela equação 1.

[pic 2]

Equação 1: Massa da lâmina curva

Portanto se σ for uma superfície paramétrica lisa, a integral de superfície em σ é a aplicação do limite tendendo ao infinito na equação 1.

Existem diversos procedimentos para o cálculo das integrais de superfície, estes dependem de como a superfície será apresentada. Quando σ é apresentada de uma maneira paramétrica utilizamos do seguinte teorema:

[pic 3]

Imagem 2: Integrais de superfície com σ parametrizada. Fonte: ANTON, Howard. P.1148

No caso do presente trabalho trabalharemos com uma superfície onde a equação da superfície pode ser isolada de maneira que z fique em função de x e y, ou seja, z=g(x,y).

Para esse tipo de superfície utilizamos da equação 2.

[pic 4]

Equação 2: integral de superfície para z=g(x,y)

O mesmo pode ser feito se for possível isolar y ou x, assim teríamos uma g(x,z) ou uma g(y,z), e as derivadas parciais seriam em função de y ou x. Quanso temos esses tipos de caso onde x, y ou z podem ser isolados a equação 3 representa a área da superfície.

dA[pic 5]

Equação 3: Cálculo da área

3. Apresentação do caso prático

O caso escolhido para o cálculo foi o museu de arte contemporânea de Niterói, onde seu formato se assemelha muito ao de um tronco de cone.

[pic 6]

Imagem 3: Museu de arte contemporânea de Niterói. Fonte: My life in Brazil.

Na imagem 4 que representa um corte esquemático das obra pode-se notar que estimando a área aproximada do tronco de cone consegue-se ter uma boa noção da área interna do museu.

[pic 7]

Imagem 4: Corte esquemático da obra. Fonte : Archdaily.

Segundo pesquisas nos sites da prefeitura do rio de janeiro e de sites relacionados à arquitetura sabemos que a área total do museu de arte contemporânea de Niterói é de aproximadamente 2.500 m2, assim o objetivo é encontrar uma área próxima pelo método das integrais de superfície.