Definindo a matriz

Definição de Matriz:

Matriz m X n é uma tabela de m linhas e n colunas de símbolos sobre um corpo F, representada sob a forma de um quadro s. As matrizes são muito utilizadas para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares.

Ordem de Matrizes:

As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Logo uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Por exemplo, a matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais

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Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como ai,j ou a[i,j]. Nesse exemplo, o elemento a1 2é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

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As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, aij = i + j, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a matriz 3x2 [pic].

Tipos de Matrizes:

Matriz quadrada

Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos aij onde i = j, para i de 1 a n.

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Matriz retangular

Uma matriz na qual m≠n é denominada matriz retangular

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2x3 3x2

Matriz coluna

Matriz de ordem n por 1 é uma matriz coluna

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Matriz linha

Matriz de ordem 1 por n é uma matriz linha

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Matriz identidade

É uma matriz quadrada e uma matriz diagonal, cuja função é de ser o elemento neutro, na multiplicação de matrizes. É denotada por In (onde n é a ordem da matriz), ou simplesmente por I. A matriz é construída da seguinte forma: os elementos da diagonal principal têm valor um, e os demais elementos da matriz são zero.

Para qualquer matriz A, as seguintes igu[***]aldades são válidas:

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Uma matriz identidade se apresenta da seguinte forma:

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Matriz inversa

Uma matriz A − 1 é dita inversa de uma matriz A, se obedece à equação matricial A.A − 1 = I, ou seja, se o produto entre as matrizes é a matriz identidade. A analogia com os números reais é evidente, pois assim como o produto entre dois números inversos é a unidade (elemento neutro da multiplicação), o produto entre duas matrizes inversas é a matriz identidade (elemento neutro da multiplicação entre matrizes). Uma matriz que possui inversa é dita inversível.

A condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada seja inversível é possuir um determinante não nulo, sendo que para uma dada matriz A, a matriz inversa é unica. A necessidade de possuir determinante não nulo é evidente na equação [pic], pois nela o determinante da matriz original é denominador de uma fração.

Matriz transposta

É o resultado da troca de linhas por colunas em uma determinada matriz.

Uma matriz simétrica é toda a matriz que é igual à sua transposta.

Neste artigo, a matriz transposta de uma matriz M será representada por MT. Outras formas de representação encontradas na literatura são Mt e M'[1].

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A matriz identidade é simétrica. Portanto, a matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade.

Matriz simétrica

Uma matriz diz-se simétrica se coincidir com a sua transposta, ou seja: A = AT . Isso só ocorre com matrizes quadradas.

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Matriz Escalar

A matriz diagonal que tem os elementos Aij iguais entre si para i= j é uma matriz escalar.

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Matriz unidade

A matriz escalar de qualquer ordem que tem os elementos Aij=1 para i= j é uma matriz unidade. Indica-se a matriz unidade por In ou simplesmente por I.

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Matriz zero

Matriz zero é a matriz cuja os elementos Aij são todos nulos.

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DETERMINANTES

Determinante é uma matriz quadrada representada de uma forma diferente, pois calculamos o seu valor numérico, o que não acontece com a matriz. Nela aplicamos as quatro operações, ou seja, somamos, multiplicamos, dividimos, subtraímos obtendo outra matriz. É importante observar, que só as matrizes quadradas possuem determinante.

O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.

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Por exemplo, o determinante da matriz [pic] é dada por: [pic] .

Teorema de Laplace

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