Dependência com a Temperatura e da Condutividade Elétrica de Cobre e Germânio

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Dependência da Condutividade Elétrica com a Temperatura: Cobre e Germânio 1

Dependência da Condutividade Elétrica com a Temperatura: Cobre e Germânio

Franklin Vieira Guedes1, Humberto Salvino Batista Torres2, Karen Cristina Silva3

Universidade Federal de Goiás / Instituto de Física

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4 de setembro de 2014

Resumo

Objetivou-se na prática experimental da qual se versa neste relatório investigar o comportamento de um metal e um semicondutor no que se refere à capacidade de condução elétrica em função da temperatura. O arranjo experimental foi um circuito contendo uma fonte de tensão, um resistor, um voltímetro, um amperímetro, um termômetro e as duas placas, uma contendo a amostra de germânio e outra a de cobre. A dinâmica experimental consistiu no registro da medida dos parâmetros, tensão elétrica, temperatura e corrente, através dos quais foram estimados, utilizando- se equações pertinentes, os valores do coeciente de resistividade do cobre α e do gap de energia do germânio, E

g

. Foi obtido para o coeciente de resistividade do cobre o valor α = (4,42 ± 0,05)−3C−1 com um erro relativo de E

relativo

= 11,1% e para o gap de energia do germânio o valor (0,36±0,09)eV com um erro relativo E

relativo

= 46,3%.

1 Introdução

A primeira teoria de física do estado sólido, capaz de calcular quantidades macroscópicas a partir de conceitos microscópicos, foi publicada por Drude em 1900. Para Drude, o metal era um sistema eletricamente neutro, como um gás de partículas positivas e negativas, ambas móveis, caracterizadas pelas suas cargas, massas, densidades, livre caminho médio, e velocidades médias.

Os principais sucessos do modelo do elétron livre con- sistiram, principalmente, na dedução da lei de Ohm da condução elétrica e na obtenção da relação entre as con- dutividades elétrica e térmica (lei de Wiedemann e Franz). Porém, o modelo falha na explicação de outras questões: prediz estimativas de grandezas físicas, como a capacidade calorífica dos metais, por exemplo, que resulta ser centenas de vezes maior que os obtidos experimentalmente. Estas dificuldades foram, na época, mascaradas pelo aparente bem sucedido resultado do modelo explicando a lei de Wi- edemann e Franz.

Entre as principais falhas apresentadas pelo modelo pode-se mencionar:

ˆ Prediz a dependência errada na temperatura para a

condutividade elétrica;

ˆ Indica que a capacidade calorífica dos metais deve ser

maior que a dos isolantes por um fator 3 2

ˆ Não prediz o que determina o número de elétrons de condução; qual a relação que existe entre os elétrons de condução e os elétrons de valência nos átomos li- vres.

As deficiências apresentadas pelo modelo do elétron li- vre surgem devido ao uso da mecânica estatística clássica para a descrição do comportamento do gás de elétrons. Na realidade, os elétrons de condução nos metais não se comportam conforme prevê a distribuição de Maxwell- Boltzmann. Ao contrário, seu comportamento, essenci- almente quantum-mecânico, faz com que eles apresentem uma distribuição bem diferente, chamada de distribuição de Fermi-Dirac.

O modelo do elétron livre proposto por Drude, apesar de todas suas falhas, pode ser considerado como o modelo propulsor das principais teorias que tentam explicar as propriedades dos metais em termos do comportamento dos elétrons livres.

O modelo que explica melhor a condução elétrica é o modelo da física quântica. Pois o modelo proposto por P. Drude, baseado na física clássica, por mais que permita ter uma visão microscópica do mecanismo de condução elétrica nos condutores, não dá conta do mecanismo com- pleto da condutividade de corrente elétrica dos metais.

R por mol, conforme sugere a teoria cinética dos gases, isso não é observado;

O modelo clássico de condução não explica vários fatos. Entre eles podemos citar a existência de condutores e iso- lantes, a diminuição da resistividade de alguns materiais com a temperatura e outros. Para explicar esses fatos é ˆ Não explica por que existe uma distinção entre me-

necessário utilizar a Mecânica Quântica. tais, semimetais, semicondutores e isolantes. Fornece

A fórmula para a condutividade elétrica apresentada valores positivos para o coeficiente Hall;

pela teoria quântica é fortemente idêntica à do modelo

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clássico, ou seja,

σ =

ne2τ m

. (1)

Uma diferença básica é que a velocidade média não é dada pela estatística de Boltzmann. Na teoria quântica esta velocidade é substituída pela velocidade de Fermi, υF. Note que ela não é mais a velocidade média dos elétrons. O motivo é que somente os elétrons ocupando estados em torno da energia de Fermi participam dos processos de colisão.

O caminho livre médio deduzido a partir dos valores experimentais das resistividades dos metais resulta muito maior do que a estimativa baseada na ideia de que os elé- trons são espalhados pelos caroços iônicos. O motivo disto é a natureza ondulatória dos elétrons. Assim, na teoria quântica, a dependência da resistividade com a tempera- tura não provém da velocidade média (uma vez que υf é praticamente independente da temperatura), mas do ca- minho livre médio.

Resistividade elétrica (também resistência elétrica es- pecífica) é uma medida da oposição de um material ao fluxo de corrente elétrica. Quanto mais baixa for a resis- tividade mais facilmente o material permite a passagem de uma carga elétrica. Já a condutividade é o oposto da resistividade, ou seja, ela é a facilidade ou capacidade de um material em poder conduzir um valor determinado de corrente elétrica.

Velocidade de deriva é a média da velocidade vetorial dos portadores de carga. No modelo clássico (modelo de Drude) os elétrons livres de um metal são tratados como um gás de partículas clássicas que obedecem à estatística de Boltzmann.O livre caminho médio neste modelo é es- timado considerando as colisões entre os elétrons livres e os íons do metal. Se os íons têm raio r a seção de cho- que para colisão com os elétrons (de raio muito pequeno) é A = πr2. Para uma concentração de íons dada por na o livre O elétron caminho colide médio aleatoriamente seria λ = naπr2