Determinação de Domínio

Determinação de Domínio

Existem algumas restrições no domínio, são elas:

i - Não existe raiz quadrada de número negativo (e nenhuma outra raiz de índice par);

ii - Não existe divisão por zero;

iii - Não existe logaritmo de número negativo ou de zero;

iv - Não existe base de logaritmo negativa, zero ou 1;

v - Não existe tangente de 90° nem de 270°.

De todas estas restrições para o domínio, as mais importantes e mais pedidas, com certeza são as duas primeiras.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Dada a função , definida pela fórmula f(x)=2x²+1. Determine a sua imagem:

SOLUÇÃO:

Neste exercício, o domínio é dado, ele vale D={-3, 2, 0, } e o contradomínio são todos números reais. Como já estudamos, a imagem de um número é o elemento pertencente ao contradomínio que está relacionado à este número, e para achar estes número devemos aplicar sua lei de formaçào:

- a imagem do -3 é também representada por f(-3), e f(-3)=2.(-3)² +1,

então f(-3)=19

- f(2)=2.(2)²+1, então f(2)=9

- f(0)=2.(0)²+1, então f(0)=1

- f( )=2.( )²+1, então f( )=11

Agora que já achamos as imagens de todos pontos do domínio, podemos dizer que o conjunto imagem desta função é Im={19, 9, 1, 11}

2. Dado o esquema abaixo, representando uma função de "A" em "B", determine:

a) O Domínio:

b) A imagem

c) f(5)

d) f(12)

SOLUÇÃO:

a) Como vimos nas lições, o conjunto em que as flechas saem, é o conjunto Domínio, esta é barbada

D={5, 12, 23}.

b) Conjunto Imagem é todos os elementos do contradomínio (conjunto "B") em que há relacionamento com o Domínio, então:

Im={7, 14, 25}

c) Nunca esquecendo que, perguntar qual a f(5) é a mesma coisa que perguntar qual a imagem do ponto 5. f(5)=7

d) Como no exercício anterior: f(12)=14.

3. UCSal - Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. Nestas condições, g(-1) é igual a:

a) -5

b) -4

c) 0

*d) 4

e) 5

SOLUÇÃO:

Como f(x) = 2x -3, podemos escrever: f[g(x)] = 2.g(x) - 3 = - 4x + 1

Logo, 2.g(x) = - 4x +4  g(x) = -2x + 2

Assim, g(-1) = -2(-1) + 2 = 4.

Logo, a alternativa correta é a letra D.

4. Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.

SOLUÇÃO:

Podemos escrever:

5 = 2.a + b

-10 = 3.a + b

Subtraindo membro a membro, vem:

5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)

15 = - a  a = - 15

Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:

5 = 2.(- 15) + b  b = 35. Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35.

5. Considere três funções f, g e h, tais que:

A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.

A função g atribui a cada país, a sua capital

A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.

Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:

a) f, g e h

b) f e h

c) g e h

d) apenas h

e) nenhuma delas

Solução:

Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja: x1 x2  f(x1)  f(x2) .

Logo, podemos concluir que:

f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.

g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.

h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos.

Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C.

6. Seja f uma função definida em R - conjunto dos números reais  tal que

f(x - 5) = 4x. Nestas condições, pede-se determinar f(x + 5).

Solução:

Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma:

x - 5 = u x = u + 5

Substituindo agora (x - 5) pela nova variável u e x por (u + 5), vem:

f(u) = 4(u + 5) \ f(u) = 4u + 20

Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:

f(x + 5) = 4(x+5) + 20 \ f(x+5) = 4x + 40

7. UEFS 2005-1 ) Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2,

para todo x R, pode-se afirmar que b/a é igual a

a) 2

b)