Elementos Da Matemática

1)Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla escolha, com 5 opções por questão?

Resolução:

Podemos dividir a decisão de escolher um gabarito, nas divisões mais simples de escolher a opção de cada uma das questões. Portanto teremos:

Decisão 1: Primeira questão - 5 opções de gabarito.

Decisão 2: Segunda questão - 5 opções de gabarito.

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Decisão 10: Décima questão: 5 opções de gabarito.

Pelo princípio multiplicativo, temos 5x5x5x5x5x5x5x5x5x5 = 5^10

Resposta: Temos 5^10 possíveis gabaritos.

2)Se um conjunto possui n elementos, quantos são os seus subconjuntos?

Resolução:

Caso tem um conjunto com n elementos e queremos formar um subconjunto, basta lembrarmos que um subconjunto possui OU NÃO determinado elemento do conjunto que o contém. Então vamos representar o conjunto da seguinte forma:

A = {a1,a2,a3,a4,...,an}, onde n(A) = n.

O primeiro elemento pode estar OU NÃO no subconjunto, portanto para (a1) temos duas opções [estar ou não estar no subconjunto. O segundo elemento pode estar ou NÃO no subconjunto, portanto para (a2) temos duas opções, e assim por diante. Temos então:

Decisão 1: 2 opções.

Decisão 2: 2 opções.

Decisão 3: 2 opções.

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Decisão n: 2 opções.

Pelo princípio multiplicativo, temos 2x2x2x2x2x2x...x2 = (2^n) opções.

Resposta: A quantidade de subconjuntos que podemos formar é (2^n).

3)De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras enfileiradas?

Resolução:

Para solucionar esta questão, vamos recorrer ao problema das permutações simples, mais especificamente aos anagramas com repetição. Na prática, podemos representar as pessoas pelas letras A,B e C. No caso, se sentarmos 3 pessoas em 5 cadeiras, necessariamente em qualquer caso, 2 cadeiras ficaram vazias, Podemos então representar a cadeira vazia pela letra V.

Sendo assim, o problema se resume à seguinte questão: De quantas formas podemos ordenar as letras ABCVV?

(5!)/(2!) = (5x4x3x2x1)/(2x1) = 5x4x3 = 60

Resposta: Três pessoas podem se sentar em 5 cadeiras enfileiradas de 60 modos diferentes.

4)De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em 5 bancos de 2 lugares, considerando-se que, em cada banco, deva haver um homem e uma mulher?

Resolução:

Podemos pensar em dividir o problema nos casos de escolher como ocuparemos cada banco de dois lugares.

primeiro lugar: 5 possibilidades de homem.

segundo lugar: 5 possibilidades de mulher.

terceiro lugar: 4 possibilidades de homem.

quarto lugar: 4 possibilidades de mulher.

quinto lugar: 3 possibilidades de homem.

sexto lugar: 3 possibilidades de mulher.

sétimo lugar: 2 possibilidades de homem.

oitavo lugar: 2 possibilidades de mulher.

nono lugar: 1 possibilidade de homem.

décimo lugar: 1 possibilidade de mulher.

Então, a princípio, temos:

5x5x4x4x3x3x2x2x1x1 = 14400

Mas, como cada casal pode ser permutado de 2! formas temos que multiplicar o resultado por 2! para cada um dos 5 casais formados, daí:

14400x2!x2!x2!x2!x2!x2! = 460800

Resposta: Podemos sentá-los de 460800 maneiras diferentes.

5)De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em casas não-adjacentes de um tabuleiro de 8x8? E se os reis fossem iguais?

Resolução:

Primeiramente, se temos um tabuleiro de dimensões 8x8, ao todo temos 64 casas. Então poderíamos pensar [a princípio] em dividir o problema em dois casos, a escolha da casa em que estará o primeiro rei e a escolha da casa em que estará o segundo rei.

Para o primeiro rei temos 64 possibilidades [pois ele pode estar em qualquer casa]. E para o segundo rei? Quantas possibilidades têm? A resposta é depende! Depende da localização do primeiro rei.

I) Colocando o primeiro rei, por exemplo em um dos quatro cantos, o segundo rei não pode ser posto em quatro casas [três em torno do primeiro rei e uma sendo a própria casa onde está o primeiro rei]. Daí temos:

4x(64-4) = 4x60 = 240

[4 pois são quatro cantos.]

[(64-4) pois não podemos colocar o segundo rei em 4 casas.]

II) Colocando o primeiro rei, por exemplo na lateral [nas casas encostadas na parede do tabuleiro], sem contar com os 4 cantos, temos 24 possibilidades. Mas, ao colocar o primeiro rei na lateral do tabuleiro, NÃO podemos colocar o segundo rei de 6 formas diferentes [5 casas em volta e uma onde o primeiro rei está]. Daí temos:

24x(64-6) = 24x58 = 1392

[24 casas laterais para o 1º rei.]

[(64-6) casas restantes para o 2º rei.]

III) Colocando o primeiro rei em uma das 36 casas centrais [sem contar as laterais e os cantos], NÃO podemos colocar o segundo rei de 9 maneiras diferentes [8 casas em volta do primeiro rei e uma casa onde o primeiro rei está]. Daí temos:

36x(64-9) = 36x55 = 1980

Notemos que agora já cumprimos todas as possibilidades para o primeiro rei, ou seja, como ele pode estar OU em um dos 4 cantos, OU em uma das 24 casas laterais OU em uma das 36 casas centrais,