Engenharia Civil – Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Engenharia Civil – Geometria Analítica e Álgebra Linear – Prof.ª Patrícia Grudzinski da Silva

DETERMINANTES

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REGRA DE SARRUS

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COFATOR

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TEOREMA DE LAPLACE

O teorema de Laplace consiste em escolher uma das filas (linha ou coluna) da matriz e somar os produtos dos elementos dessa fila pelos seus respectivos cofatores.

Ilustração algébrica:

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Vejamos um exemplo:

Calcule o determinante da matriz C, utilizando o teorema de Laplace:

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Exercícios:

1) Resolva, pela regra de Sarrus, os seguintes determinantes:

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2) Determine os cofatores dos elementos a11, a22, a33 da matriz  .[pic 13]

 

3) Resolva, pelo teorema de Laplace, os seguintes determinantes:

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SISTEMAS LINEARES

• MÉTODO DE GAUSS-JORDAN OU ESCALONAMENTO

É um método de escalonamento que consiste em aplicar operações elementares à matriz aumentada de um sistema, até que ela esteja na forma escalonada reduzida. A vantagem deste processo é que um sistema cuja matriz aumentada é uma matriz na forma escalonada reduzida tem solução imediata, enquanto que para resolver um sistema que está apenas na forma escalonada ainda é necessário fazer uma série de substituições para obter a solução final.

Definição: Uma matriz está na forma escalonada reduzida quando ela satisfaz as seguintes condições:

1. O primeiro elemento não-nulo de cada linha não-nula (chamado o pivô da linha) é igual a 1.

2. O pivô da linha i + 1 ocorre à direita do pivô da linha i.

3. Se uma coluna contém um pivô, então todas os outros elementos desta coluna são iguais a 0.

4. Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não-nulas.

Exemplo de matriz escalonada reduzida:

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        Neste caso, podemos apresentar a solução diretamente, ou seja, .[pic 20]

Considere este outro exemplo, onde tornaremos a matriz na forma escalonada:

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Vamos agora resolvê-lo, escrevendo uma matriz associada ao sistema, onde cada uma das linhas corresponderá a uma das equações. Teremos, portanto, uma matriz com 3 linhas. Cada coeficiente da primeira equação corresponderá ordenadamente a uma entrada da primeira linha. O termo independente será a quarta entrada desta primeira linha. Ela terá 4 entradas. Assim, faremos com as demais linhas. Teremos, portanto, uma matriz 3 X 4 associada ao sistema, chamada matriz aumentada. Observe:

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Observação: A matriz acima se chama aumentada para se distinguir da matriz

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que é conhecida como matriz dos coeficientes do sistema. Utilizaremos na sequência, as duas matrizes que não podem ser confundidas.

A maneira que utilizaremos para resolver este sistema não é muito diferente da que utilizamos até aqui para encontrar a matriz inversa e determinante de matriz . Vamos operar nas linhas da matriz da seguinte maneira: inicialmente, multiplicando a primeira linha por -2 e adicionamos à segunda. [pic 24]

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Em seguida, multiplicamos a primeira linha por -3 e adicionamos à terceira. Não alteramos as demais entradas

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Continuando multiplicamos a segunda linha por 3 e a terceira por -2. Não alteramos as demais entradas. Observe:

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E, finalmente, adicionando a segunda e a terceira linhas:

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Secretamente, sabemos que as 3 primeiras entradas das linhas da matriz correspondem respectivamente aos coeficientes de x, y, z. Podemos, portanto, ler o valor de z na ultima linha:  A segunda linha representa a equação: . Como z = 3 obtemos . Levando estes valores na equação correspondente à primeira linha temos: .[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

Discussão dos Sistemas Lineares

        Discutir um sistema linear S significa efetuar um estudo de S visando a classificá-lo segunda a definição: dizemos que um sistema linear S é incompatível se S não admite nenhuma solução. Um sistema linear que admite uma única solução é chamado compatível determinado. Se um sistema linear S admitir mais do que uma solução então ele recebe o nome de compatível indeterminado.

        Para resolver, faremos como já visto acima, o escalonamento e, retiradas as equações do tipo 0 = 0, restam p equações com n incógnitas.

1. Se a última das equações restantes é  então o sistema é incompatível;[pic 33]

Caso contrário, sobram duas alternativas:

1. Se p = n o sistema é compatível determinado;
2. Se p < n, então o sistema é compatível indeterminado. 

Exemplos:

1) Resolver por escalonamento e discutir os seguintes sistemas:

a) [pic 34]

b) [pic 35]

c) [pic 36]

Exercícios:

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2) Resolver por escalonamento e discutir os seguintes sistemas:

a) [pic 38]

b) [pic 39]

ESPAÇO VETORIAL

        Sabemos que para um conjunto ser espaço vetorial existem algumas condições, propriedades da definição. Logo, resolva cada exercício abaixo verificando se as condições, propriedades da definição são válidas.

Exemplos:

1)  é um espaço vetorial trivial.[pic 40]