Equações Diferenciais e Séries / Cálculo III

UNIFACS – Universidade Salvador

Curso: Engenharias

Disciplina: Equações Diferenciais e Séries / Cálculo III

2a Lista de Exercícios 2014

1. Verifique se as funções abaixo dependentes de constantes arbitrárias satisfazem às equações diferenciais ao lado.

Funções:	Equações Diferenciais:
a) y = C e− 3x	y´+3y = 0
b) y = C cosx	y´ + y tgx = 0
c) y = C1 cos3x + C2 sen3x.	y´´ + 9y = 0
d) y = Cx3	xy´= y
e) y = ex + C1x + C2	y´´ = ex

2. Resolva as seguintes equações diferenciais a variáveis separáveis:

a) y´+ y = 1	h) [pic 1]	n) [pic 2]	a) [pic 3].
b) x y´= 3y	i) tg(x) y´ = y	0) 2y(x+1)dy = x dx	b) [pic 4].
c) y´= −2xy	j) tg(x) sen2(y) dx + cos2(x) cotg(y) dy = 0	p) [pic 5]	c) [pic 6].
d) [pic 7]	k) 3 ex  tg(y) dx + (1 – ex) sec2(y) dy = 0	q) (y + yx2) dy + ( x + xy2) dx = 0	d) [pic 8].
e) [pic 9]	l) x y y´= 1 − x2	r) y´ = x – 1 + xy − y
f) [pic 10]	m)  ex dy = 2x dx	s) (x + 1 ) dy – ( x + 6 ) dx = 0
g)[pic 11][pic 12]		t) x2 y´ − yx2 = y

                                                                                                                              

3. Para as equações diferenciais a seguir determine as soluções particulares que satisfazem as condições iniciais.

a) xy´= 2y         y( − 2) = 1	d) [pic 13]
b) (1 + ex)y y´= ex,    y(0) = 1	e) [pic 14]
c) (xy2 + x) dx + ( x2y – y ) dy = 0;  y(2) =1	f) [pic 15]

4. Verifique se as equações a seguir são exatas ou não exatas.  Para as equações exatas, encontre a solução.

a) [pic 16] b) (2xy2 + 2y ) + ( 2x2y + 2x ) y´ = 0 c)[pic 17] d) (ex seny +3y)dx − ( 3x − ex seny ) dy = 0 e) ( xlny + xy ) dx + ( y lnx + xy ) dy = 0   f) [pic 18] g)  (3x2 −2xy + 2 ) dx + (6y2 –x2 +3 ) dy = 0 h) (xex + y) dx + ( x + yey) dy = 0;

5. Encontre o valor da constante b para que as equações a seguir sejam exatas e resolva a equação com o valor de b encontrado

a) (xy2 + bx2y ) dx +  ( x + y)x2 dy = 0;                   b) ( ye2xy + x ) dx + bxe2xy dy = 0

6. Mostre que as equações a seguir não são exatas, mas se tornam exatas quando multiplicadas pelo fator [pic 19] Resolva as equações exatas assim obtidas.

a) x2y3 + x(1 + y2) y´ = 0     [pic 20];  b) [pic 21]   [pic 22]

Observação: A função [pic 23] é chamada de fator integrante ou fator de integração para a equação

7. Uma equação diferencial linear de 1a ordem se escreve na forma [pic 24]. Verifique quais das seguintes equações são lineares, identificando as funções a(x) e f(x) e resolva as equações lineares

a) y´+exy =x2y2;	b) y´ + 2y  = 2ex;	c) x y´+ y + 4 = 0 ;
d) yy´ = y2 + senx	e) ( y − senx ) dx + x dy = 0  ;	f)  y´ − 4y = 2x −4x2 ;