Equações Diferenciais E Series

Estudo da modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais 

A modelagem matemática é a área do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, como física, química, biologia, economia e engenharia. Modelagem matemática consiste na Arte de se descrever matematicamente um fenômeno. 

A modelagem de um fenômeno via equações diferenciais, é normalmente feita da seguinte forma: através da simples observação conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno (que do ponto de vista matemático são derivadas), escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da solução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno. 

Estudo das técnicas de integração de funções de uma variável 

A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso, o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua essência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diversas, que concordam, porém, em resultado numérico. 

Método de conjecturar e verificar 

Uma boa estratégia para se encontrar primitivas simples é fazer uma conjectura de qual deve ser a resposta e depois verificar sua resposta derivando-a. Se obtivermos o resultado esperado, acabou. O método de conjecturar e verificar são útil na inversão da regra da cadeia. 

Método por substituição 

Quando o integrado e complicado utilizamos essa técnica para formalizar o método de conjeturar e verificar da seguinte maneira:  Dw = w´(x) dx = (dw/dx) dx 

No método de substituição parece que tratamos dw e dx como entidades separadas, até cancelando-as da equação dw= (dw/dx)dx. 

Método Por partes 

A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto, ou seja: 

Estudo do método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de primeira ordem 

Equações diferenciais lineares de variáveis separáveis: 

A equação diferencial M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 será de variáveis separáveis se: 

- M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes. 

- M e N forem produtos de fatores de uma só variável. 

Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma P(x)dx + Q(y)dy = 0, a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis. 

Uma equação diferencial de variável separada é uma equação do tipo: 

g(y) dy = f(x)dx 

A solução geral da equação diferencial de variável separada obtém-se por primitivação de ambos os membros da equação, ou seja, 

∫g(y)dy = ∫f(x)dx+C. 

Chama-se equação de variáveis separáveisuma equação do tipo: 

F1 (x)h1 (y)dx = f2(x)h2 (y)dy 

Na qual o coeficiente associado a cada diferencial se pode fatorizar em funções, dependentes só de x ou só de y. 

Dividindo ambos os membros pelo produto f2(x)h1(y) a equação fica com as variáveis separadas. 

E o integral geral dessa equação tem a forma 

ʃ = ʃ +C 

Equações diferenciais lineares de 1ª ordem: 

Chama-se equação diferencial linear de 1ªordem a uma equação da forma 

y'+P(x)y =Q(x) onde P e Q são funções contínuas de x num certo domínio D ⊂ IR. 

É usual designar por equação completa aquela em que Q(x) ≠ 0enquanto que a equação se chama homogênea, se Q(x)= 0 

A resolução destas equações pode enquadrar-se da seguinte forma: 

Se Q(x)= 0, a equação é de variáveis separáveis. 

Se Q(x)≠0,a equação admite um fator integrante função sóde x, I(x, y)= e ∫P(x) dx 

Como resolver uma Equação diferencial linear de 1ª ordem: 

Determinar o fator integrante I (x, y) = e ∫P(x) dx 

Multiplicar a equação diferencial por este fator integrante, isto é 

e∫P(x) dx (y’+ P(x)y)= e ∫P(x) dxQ(x) 

Note que o primeiro membro da equação acima é igual a 

(ye∫P(x)dx) 

Integrar ambos os membros em ordem a x, ou seja, 

ye∫P(x)dx= ∫ Q( x) e ∫P(x) dxdx 

Modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais 

Os circuitos elétricos são basicamente formados por componente lineares passivos: resistores de resistência R(ohm) indutores de indutância L(Henry), capacitores de capacitância C(farad) e uma fonte elétrica cuja diferença de potencial é indicada pela letra v(t) 

Para modelar um sistema elétrico precisamos conhecer os seus componentes elétricos passivos 

Relação elementar de voltagem: 

Resistor (Lei de Ohm) 

eA – eB = R iR 

Indutor 

eA – eB = L 

Capacitor 

eA – eB = 

L: Indutância, R: Resistência, C: Capacitância 

A modelagem matemática de um sistema elétrico simples é feita aplicando-se as Leis de Kirchhoff: a Lei dos